Martingale visa: Förväntat värde av processen < infinity

Hej, ska visa det ena av dom två kriterierna för att en Random Process är en Martingale håller.

Har:

$X_{1}, . . ., X_{n} s l u m p v a r i a b l e r, E (X_{i}) = 0, E ({X^{2}}_{i}) = σ^{2}, S_{0} = 0, S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ och till sist: $M_{n} = {S^{2}}_{n} - n σ^{2}$

Vill visa: $E (|M_{n}|) < \infty$

Har lyckats härleda tills det att vi har:

$E (|M_{n}|) \leq \sum_{i = 1}^{n} E ({X^{2}}_{i}) + 2 \sum_{i < j} E (|X_{i} X_{j}|) + n σ^{2} = 2 n σ^{2} + 2 \sum_{i < j} E (|X_{i} X_{j}|)$ , so far so good tror jag. Här kan jag även använda att: $E (|X_{i} X_{j}|) \leq \sqrt{E ({X^{2}}_{i}) E ({X^{2}}_{j})} = σ^{2}$

Härifrån tar det stopp dock, facit säger:

$n σ^{2} + \frac{n (n - 1)}{2} σ^{2} + n σ^{2}$

Så jag antar att: $2 \sum_{i < j} σ^{2} = \frac{n (n - 1)}{2} σ^{2}$

Men kan inte riktigt se det. Och det är inte så konstigt när jag ännu inte riktigt förstått innebörden av $\sum_{i < j}$

Asså jag antar att jag det blir: $\sum_{i < j} X_{i} X_{j} = X_{1} X_{2} + X_{1} X_{3} + . . . + X_{1} X_{n} + X_{1} X_{2} + . . . + X_{2} X_{n} + . . .$ , men tycker det är lite otydligt med indexeringen. Hade det varit samma sak att skriva $\sum_{i < j}^{n}$ ?

Förstår hursomhelst inte: $2 \sum_{i < j} σ^{2} = \frac{n (n - 1)}{2} σ^{2}$

Och hade behövt hjälp med den övergången

Tack på förhand :)

Hej,

Noterar att

$\displaystyle S_n^2 = \sum_{i=1}^n \sum _{j=1}^n X_iX_j$

och att olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde ger

$X_iX_j \leq (\frac{X_i+X_j}{2})^2 \iff 2X_iX_j \leq X_i^2+X_j^2$

så att

$\displaystyle\mathbb{E}\left(S_n^2\right) \leq 0.5 \cdot \left\{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \mathbb{E}\left(X_i^2\right)+\mathbb{E}\left(X_j^2\right)\right\}=n^2 \sigma^2$

vilket ger

$\mathbb{E}|S_n^2 - n\sigma^2| \leq n(n+1)\sigma^2.$

Ahaaa!! Snyggt, nu förstår jag. Tack! :D

En viktig sak att notera är att slumpvariablerna $X_i$ kan vara beroende; faktum är att martingal är en särskild form av beroende: Den bästa prognosen för framtida värde, givet alla tidigare värden, är det senaste värdet.

Skulle slumpvariablerna $X_i$ vara oberoende är den bästa prognosen för framtida värde hela tiden densamma: väntevärdet 0.

Svara

Visa senaste svar