Masscentrum för en kvarts cirkel

Tja! Jag har en uppgift där jag har en kvarts cirkel som jag ska bestämma masscentrum för. alltså $x^{2} + y^{2} = 1$ med intervallen $x \geq 0$ och $y \geq 0$ samt med densiteten $ρ (x, y) = x$ .

Jag förstår nu hur man beräknar masscentrum men blir förvirrad istället av hur jag ska använda densiteten eftersom den beror av både x och y. Hur ska jag tänka när jag beräknar Mx=0 och My=0? Blir densiteten =x eller =y beroende på vilket M jag beräknar eller hur ska jag implementera densiteten i formeln?

Du har fått ett enklare fall där densiteten beror endast på x.

Hur menar du? ska jag alltså bara sätta in x som densiteten när jag tar fram Mx och My? vad gör jag när jag tar fram massan då?

Densiteten är $ρ (x)$

x-koordinaten från 0 till 1.

Varje remsa dx har höjden $\sqrt{1 - x ²}$ och väger då $ρ (x) \cdot \sqrt{1 - x ²} d x = x \cdot \sqrt{1 - x ²} d x$

Massan är då $\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 - x ²} d x$

okej men då har jag gjort det rätt! men vid beräkning av Mx, ska jag ta att $ρ$ = x eller $ρ$ =y= $\sqrt{1 - x^{2}}$ ?

Och samma fråga för My? Eller är ρ alltid $x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ för båda beräkningarna?

Det ska vara x i båda beräkningarna.

bara x eller $x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ ?

Det är svårt att veta vad du menar, vilka formler. Kan du lägga upp en lösning eller början på en lösning så att man kan se hur du tänker?

för $M_{x = 0} = \int_{a}^{b} x δ (x) f (x) d x$ , densiteten delta(x), vad ska jag göra av den?

samma fråga för $M_{y = 0} \frac{1}{2} \int_{a}^{b} δ (x) (f {(x))}^{2} d x$

Det är alltså formlerna jag utgår från. Resten har jag förstått, det är bara detaljen med densiteten delta(x) som är förvirrande. Ska alltså delta(x) vara $ρ = x$ eller $ρ = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Jag har hittills gjort så här

Ja, i båda sätter du x istället för $ρ (x)$ - båda formlerna har dx och då integrerar man på x.

okej men då verkar jag vara rätt ute med Mx, det enda som skiljer sig i min lösning är att jag inte har 1/2 för Mx, utan för My, varför har du multiplicerat in 1/2?

Jag är lite osäker om jag har gjort rätt på Mx. Försökte att följa resonemanget i boken.

Okej, men då borde det jag gjort ändå stämma då jag har mina formler jag följer, undrar mest ifall det ska halveras pga 1/4 cirkelskiva men har andra lösningar där man inte gör det så jag skippar den. Tack för all hjälp! Uppskattas.

Svara

Visa senaste svar