Matematik 4000, Blå, E, 2229-2230

Roterar du rektangeln runt x-axeln blir det en cylinder med höjden x och radien y.

Insättning av -1 ger en ekvation för a och b; insättning av 3 ger en till.

Gör en tråd för varje fråga, det blir så rörigt annars (ibland kan det bli rörigt även om det bara är en fråga, men det är ett annat problem...)

2229: Vid rotation runt x-axeln, kommer cylinderns radie vara y(x) och höjden x:

Formeln för en cylinders volym ges och vi vet av att:

$$\begin{gathered} V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \Rightarrow \left[\begin{array}{c}\mathrm{cylindern}s \mathrm{radie} \mathbf{r} =\mathbf{y}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{cylinderns} \mathrm{höjd} \mathbf{h}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{x}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\mathrm{sätter} \mathrm{in} \mathbf{y}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{r}\\ \mathrm{sätter} \mathrm{in} \mathrm{höjd} \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{h}\end{array}\right]\Rightarrow \mathrm{V}=\mathrm{\pi }·\mathbf{y}\mathbf{(}\mathbf{x}{\mathbf{)}}^2\mathbf{·}\mathbf{x}; \\ \mathrm{Om} \mathrm{y}(\mathrm{x}) = 4-\mathrm{x}, \mathrm{får} \mathrm{vi} \mathrm{följande} \mathrm{uttryck} \mathrm{för} \mathrm{V}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }·\mathbf{y}\mathbf{(}\mathbf{x}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{·}\mathbf{x}\mathbf{ }\Rightarrow \mathrm{V}=\mathrm{\pi }·(4-\mathrm{x}{\mathbf{)}}^2·\mathrm{x}; \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }·\mathrm{x}·(4-x{)}^2 \end{gathered}$$

Där ska du derivera och hitta x:koordinaten för dess lokala maximum.

2230: 

$$\begin{gathered} \underset{Funktionen}{\underbrace{f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx}} \Rightarrow \underset{Funktionens 1:a derivata}{ \underbrace{f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b}}\Rightarrow \underset{Funktionens 2:a ~\parallel ~}{\underbrace{f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x+2a}} \\ \mathrm{Vi} \mathrm{vet} \mathrm{att} f\text{'}\left(x\right)=0, \mathrm{för} {\mathrm{x}}_1=-1 \mathrm{och} {\mathrm{x}}_2=3 \mathrm{eftersom} \mathrm{lokala} \mathrm{maximum}/\min \mathrm{endast} \\ \mathrm{existerar} \mathrm{där} \mathrm{derivatan} \mathrm{är} \mathrm{noll}: \\ \mathrm{Vi} \mathrm{vet} \mathrm{även} \mathrm{att} \mathrm{för} \mathrm{ett} \mathrm{maximum} \mathrm{måste} \mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)<0 \mathrm{och} \mathrm{för} \mathrm{ett} \mathrm{minimum} \mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)>0 \\ \mathrm{Därför} \mathrm{får} \mathrm{vi}: f\text{'}(-1)=3(-1{)}^2+2a(-1)+b=0 \iff 3-2a+b=0 \\ \mathrm{samt} f\text{'}(3)=3(3{)}^2+2a\left(3\right)+b=0 \iff 27+6a+b=0 \\ \mathrm{Då} \mathrm{får} \mathrm{du} \mathrm{ekvationssystem}: \\ \left\{\begin{array}{l}3-2\mathrm{a}+\mathrm{b}=0\\ 27+6\mathrm{a}+\mathrm{b}=0 \end{array}\right. \\ \mathrm{Med} \mathrm{villkor} \mathrm{att}: \\ \mathrm{f}\text{'}\text{'}(-1)=6(-1)+2\mathrm{a}<0 \iff -6+2\mathrm{a}<0 \\ \mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(3\right)=6\left(3\right)+2\mathrm{a}>0 \iff 18+2\mathrm{a} >0 \end{gathered}$$

Värst vad konstiga parenteserna blev, jag menar självklart vanliga parenteser - om det skulle se lite mysko ut så att säga.

Bortredigerat inlägg. Regelbrott 3.1. /Kajsa, admin

Tack så mycket för hjälpen! Väldigt bra förklaringar!