2 svar
46 visningar
deasofia 18
Postad: 20 nov 19:22 Redigerad: 20 nov 20:42

Matematik 5000+ 4 Blandade uppgifter 1-2 Uppgift 25

Undersök för vilka värden på a och b ekvationen sinax=bx har tre lösningar, om x är givet i radianer och a>0, b>0.

Det står i facit att man ska lösa uppgiften med digitalt verktyg. Jag försöker hitta vart bx tangerar sinuskurvan i två punkter. Men jag vet inte hur jag ska hitta x-värdet för dessa punkter. Jag har ingenting att gå på. Jag vet bara att x-värdet ska vara någonting multiplicerat med 2pi/a. Det är de punkterna jag ringat in med rött som jag söker.

LuMa07 63
Postad: 21 nov 00:53

Om den högra punkten som du ringat in kallas för x2x_2 och linjen y=bxy=bx tangerar sinuskurvan y=sin(ax)y=\sin(ax) i denna punkt, så får man följande ekvationssystem:

  • sin(ax2)=bx2\sin(a x_2) = b x_2 (då x2x_2 är skärningspunkten för linjen och sinuskurvan)
  • acos(ax2)=ba \cos(a x_2) = b (då sinuskurvans lutning i denna punkt ska vara lika med linjens lutning)
  • Enligt figuren ligger x2x_2 mellan 2π/a2\pi /a och 2,5π/a2,5 \pi/a

Om man dividerar första ekvationen med den andra, så får man ekvationen tan(ax2)a=x2 \frac{\tan (a x_2)}{a} = x_2, vilket kan skrivas om som tan(ax2)=ax2\tan(ax_2) = ax_2.

Variabelbytet t2=ax2t_2 = ax_2  ger ekvationen tant2=t2\tan t_2 = t_2 där man söker lösningen t2t_2 som ligger mellan 2π2\pi och 2,5π2,5\pi. På miniräknaren/desmos hittar man lösningen t27,73t_2 \approx 7,73.

Enligt andra ekvationen i punktlistan ovan är b=acos(t2)0,128ab = a \cos(t_2) \approx 0,128 a. Detta värde på bb är alltså gränsfallet där man får fler än tre lösningar.

Trinity2 1953
Postad: 21 nov 00:58

Jag tror de menar så här, och med tanke på din skiss.

Svara
Close