Matematik 5000. Kurs 4. 3177

Kan man kanske, typ, räkna ut arean på tvärsnittet på behållaren när den är fylld till hälften, kontrollera hur mycket denna area rymmer i liter, och överflödet sedan från 2.5L blir höjden h?

Resultatet fås någorlunda enkelt m.h.a. kedjeregeln när man inser att volymen beror av höjden som i sin tur beror av tiden. Kedjeregeln ger att "tidsderivatan av volymen = (höjdderivatan av volymen) × (tidsderivatan av höjden)", där den ena storheten är direkt given i uppgiften, den andra storheten bestäms lätt, och den tredje storheten sökes.

Följande står givet i uppgiften:

• dV/dt = 2,5 l/min
• $V{(h)} = \dfrac{\pi}{3} {(13{,}5 h^2 - h^3)}$
• dh/dt sökes i det ögonblick då h = 4,5 dm

Därmed kan man lätt ta fram att $\dfrac{dV}{dh} = \dfrac{\pi}{3} {(27 h - 3h^2)} = \pi {(9h - h^2)}$. I det efterfrågade ögonblicket (d.v.s. då h=4,5), så blir $\dfrac{dV}{dh} = \pi{ (9 \cdot 4.5 - 4.5^2)} = \pi\, 4.5^2$

Enligt kedjeregeln blir $\underbrace{\dfrac{dV}{dt}}_{\text{känd}} = \underbrace{\dfrac{dV}{dh}}_{\text{känd}} \cdot \underbrace{\dfrac{dh}{dt}}_{\text{sökes}}$

Jo. Insåg de delarna men kunde inte pussla ihop det ändå. Missade att 2.5L/min var skillnaden i volym, tänkte att det var något annat som behövde konverteras först osv.. vet inte riktigt..

Men 1 L = 1dm^3 så.. ja, det känns lite rimligt ändå.

Men dh/dt är alltså då 2.5/π4.5^2 menar du?

Dkcre skrev:

Men dh/dt är alltså då 2.5/π4.5^2 menar du?

Exakt, fast med parenteser: 2.5/(π4.5^2)

LuMa07 skrev:

Dkcre skrev:

Men dh/dt är alltså då 2.5/π4.5^2 menar du?

Exakt, fast med parenteser: 2.5/(π4.5^2)

Ah, jadå. Jag menar så. Tänkte inte på det.

Ber om ursäkt för igår. Är lite frustrerad.

Tack så mycket.