7 svar
83 visningar
HarveySpecter behöver inte mer hjälp
HarveySpecter 47 – Fd. Medlem
Postad: 8 okt 2020 20:51

Matematisk statistik, två exponentialfördelade komponenters livslängd

Hejsan,

Jag sitter med följande uppgift:

"Ett system består av två komponenter som arbetar parallellt. Systemet fungerar så länge minst en av komponenterna fungerar. Varje komponent har exponentialfördelad livslängd med parameter λ. Bestäm fördelningsfunktionen för systemets livslängd Y."

 

Jag har räknat enligt följande:

Stokastiska variabler:A=Första komponents livslängdB=Andra komponents livslängdY=Systemets livslängdFY(x)=P(Yx)=P(max(A,B)x)==FA(x)×FB(x)=λe-λxdx×λe-λxdx==-e-λx×-e-λx=e-2λx, x0

 

Något som är exponentialfördelad har ju täthetsfunktionen fX(x)=λe-λxoch, såvida jag har förstått det rätt, så ska den primitiva funktionenfX(x)dx bli lika med fördelningsfunktionen FX(x).

Svaret är däremotFY(x)=(1-e-λx)2, x0

Vad kommer 1:an ifrån? Boken ger mig inget svar, i alla fall inte som jag kan koppla till denna uppgiften.

Micimacko 4088
Postad: 8 okt 2020 20:55

Man brukar räkna ut sånt här med hjälp av komplementet. Sannolikheten att minst en funkar är 1-P(båda trasiga).

HarveySpecter 47 – Fd. Medlem
Postad: 8 okt 2020 22:04
Micimacko skrev:

Man brukar räkna ut sånt här med hjälp av komplementet. Sannolikheten att minst en funkar är 1-P(båda trasiga).

Ja okej, misstänkte att det är något komplement som kryper sig in någonstans men förstår rent logiskt inte vart i mina uträkningar som det ska komma ett komplement?

Tänker att jag nu räknade ut sannolikheten att båda två ska fungera men om jag tar komplementet på det blir det väl sannolikheten på att ingen fungerar istället för att minst en ska fungera?

Vad missar jag här?

Micimacko 4088
Postad: 8 okt 2020 22:18

Komplementet till att båda fungerar är att minst en är trasig. Det räcker inte för att säga om det totalt kommer att gå bra eller inte.

Sen har du missat gränser på integralerna. Struntar du i dem måste det läggas till +C för att säkert bli rätt.

HarveySpecter 47 – Fd. Medlem
Postad: 8 okt 2020 23:11 Redigerad: 8 okt 2020 23:25
Micimacko skrev:

Komplementet till att båda fungerar är att minst en är trasig. Det räcker inte för att säga om det totalt kommer att gå bra eller inte.

Sen har du missat gränser på integralerna. Struntar du i dem måste det läggas till +C för att säkert bli rätt.

Okej så  är detta ett matematiskt korrekt sätt att utföra det hela?

FY(x)=P(Yx)=P(max(A,B)x)==[Vi vill ta reda på när både A och B är komplementet, dvs "icke fungernade"]==(1-FA(x))×(1-FB(x))=(1--xλeλxdx)×(1--xλeλxdx)==[Sedan vill vi veta komplementet till det för att veta när "minst en är fungernade"]==1-((1--xλeλxdx)×(1--xλeλxdx))=1-((1--e-λx)×(1--e-λx))=(Sista biten går ej att skriva i MathType, är nionde gången jag försöker skriva här.)

= 1-(1+e^(-λx))^2 , alltså inte samma som facit. 

Men detta är ju fortfarande inte rätt svar :(

Micimacko 4088
Postad: 8 okt 2020 23:25 Redigerad: 8 okt 2020 23:29

Tror att jag också har lyckats röra ihop det någonstans. Fa och Fb är ju redan sannolikheten att den är trasig. Tyckte det kändes mer logiskt att räkna ut om det skulle funka ;P Så det enda som egentligen var fel från början var nog integralgränserna. Integrera från 0 till x så borde det bli rätt.

HarveySpecter 47 – Fd. Medlem
Postad: 9 okt 2020 00:05
Micimacko skrev:

Tror att jag också har lyckats röra ihop det någonstans. Fa och Fb är ju redan sannolikheten att den är trasig. Tyckte det kändes mer logiskt att räkna ut om det skulle funka ;P Så det enda som egentligen var fel från början var nog integralgränserna. Integrera från 0 till x så borde det bli rätt.

Ja okej, nu blev det kalas! Men i min bok står det att man kan ta fram FX(x)=-xfX(u)du.

Vad är det som gör att jag fick välja den nedre gränsen som 0? Hade hjälpt inför framtida uppgifter att veta varför detta avviker från boken :)

Micimacko 4088
Postad: 9 okt 2020 06:07

Täthetsfunktionen är ju 0 innan x, så du får dela i 2 integraler då där första ändå bara blir 0.

Svara
Close