2 svar
116 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3847
Postad: 13 mar 2020

Matris som uppfyller polynomekvation.

Hej!

Det var ett tag sedan vi hade en kluring här på forumet, så här kommer ett problem från en bok i linjär algebra som jag tyckte var lite småroligt. Det lyder:

Den kvadratiska matrisen AA uppfyller p(A)=0p(A)=0 där p(x)p(x) är ett polynom sådant att p(0)0p(0)\neq0.

a) Visa att AA är inverterbar.

b) Bestäm inversen A-1A^{-1} om p(x)=x2-7x+6p(x)=x^2-7x+6

c) Låt cos(X)\cos(X) för en matris XX definieras av Maclaurinutvecklingen för cosinus. Den kvadratiska matrisen BB är sådan att cos(B)=0\cos(B)=0. Bestäm inversen till BB.

parveln 721
Postad: 14 mar 2020
Visa spoiler

a) Antag P(A) = cnAn+...+ckAk+cI. Eftersom p(0) inte är 0 kan inte c vara 0. Eftersom inte c är 0, men P(A) är 0 måste det finnas minst en nollskild koefficient utöver c. Vi betecknar den minsta(sedd till index) av dessa koefficienter med ck. Sen ser vi lätt att I=(-cncAn-1-...-ckcAk-1)A och A är inverterbar.(Vi kan givetvis visa existens av högerinvers genom att faktorisera ut A till vänster istället. )

 

b) Vi tillämpar beviset ovan och ser att om p(A)=0 medför detta A2-7A+6=0A(76-16A)=I. Därmed har vi en invers 7/6 - 1/6A.

c) cos(B) = I -B22!+B44!..., Eftersom serien är absolutkonvergent kan vi flytta om termerna och eftersom cos(B) är 0 får vi: I=B(B2 - B34!+....)där uttrycket inom parentes är inversen.

AlvinB 3847
Postad: 15 mar 2020
parveln skrev:
Visa spoiler

a) Antag P(A) = cnAn+...+ckAk+cI. Eftersom p(0) inte är 0 kan inte c vara 0. Eftersom inte c är 0, men P(A) är 0 måste det finnas minst en nollskild koefficient utöver c. Vi betecknar den minsta(sedd till index) av dessa koefficienter med ck. Sen ser vi lätt att I=(-cncAn-1-...-ckcAk-1)A och A är inverterbar.(Vi kan givetvis visa existens av högerinvers genom att faktorisera ut A till vänster istället. )

 

b) Vi tillämpar beviset ovan och ser att om p(A)=0 medför detta A2-7A+6=0A(76-16A)=I. Därmed har vi en invers 7/6 - 1/6A.

c) cos(B) = I -B22!+B44!..., Eftersom serien är absolutkonvergent kan vi flytta om termerna och eftersom cos(B) är 0 får vi: I=B(B2 - B34!+....)där uttrycket inom parentes är inversen.

Snyggt!

Det var ungefär så jag också tänkt.

Svara Avbryt
Close