Matrisekvation

Vill bestämma X i $(AX+B)^{-1} = A$ där X, A,B är matriser.

$(AX+B)^{-1}(AX+B) = A(AX+B)$

$I = A(AX+B)$

Men man kan väl också göra

$(AX+B)(AX+B)^{-1}= (AX+B)A$

$I = (AX+B)A$

Är de här ekvationerna verkligen ekvivalenta?

Ja.

Prova att lösa ut X på båda sätten!

$I = A(AX + B)$
$I = AAX + AB$
$I-AB = (AA)X$
$(AA)^{-1}(I-AB) = (AA)^{-1}(AA)X$
$(AA)^{-1}(I-AB) = X$

Stämmer det?

Ja (dom två sista ekvationerna är samma). Men det ser snyggare ut om man multiplicerar in i parentesen. Gör det!

Det verkar stämma.

Om man vill kan man "förenkla" lite.

$(AA)^{-1}(I-AB) = X$

$(AA)^{-1}-(AA)^{-1} AB = X$

Kan jag förenkla mer?

sexlaxarienslaksax skrev :
$(AA)^{-1}(I-AB) = X$
$(AA)^{-1}-(AA)^{-1} AB = X$
Kan jag förenkla mer?

$(AA)^{-1}(I-AB) = X$

$(AA)^{-1}-A^{-1}A^{-1} AB = X$

$A^{-1}A^{-1}-A^{-1}B = X$

$A^{-1}(A^{-1}-B) = X$

Bra!

Svara Avbryt