Matrisen för den ortogonala projektionen

Min första tanke var att för varje vektor jag tar gånger den här matrisen så ger det mig direkt den vektorns ortogonala projektion på planet men har testat mig fram lite och får inte det att stämma.

Så vad är det jag har beräknat egentligen?

Det stämmer att $Ax$ ger dig den ortogonala projektionen av $x$ på planet. Om du inte får det att stämma kan det bero på att du har slarvat någonstans på vägen. 

Hur ser din ON-bas ut för planet? Har du glömt normera den?

Vad som händer när du projicerar din vektor på varje basvektor är att du plockar ut de delar av vektorn $x$ som ligger i planet (kommer du ihåg projektionsformeln?)

$F(x)=<x,e_1>e_1+<x,e_2>e_2$

Matrisen A för en linjär avbildning $F$ kan man hitta genom att ta reda på vad hur basvektorerna avbildas (och nu är det viktigt att inte blanda ihop basvektorerna $s_n$ med de vektorer som du döpt till $e_n$ och som spänner planet). Kolonnerna i A är koordinatvektorerna $F(s_1), \dots, F(s_n)$.

Därför undersöker din föreläsare hur standardbasen $F(1,0,0)$, $F(0,1,0)$ och $F(0,0,1)$ avbildas. Varje vektor får bilda en kolonn i A.

Aha, min ON-bas är  $e_1 =\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{14}}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right] och e_2 =\hspace{0.17em}\frac{1}{3\sqrt{21}}\left[\begin{array}{c}2\\ 11\\ -8\end{array}\right]$ , ska testa igen att beräkna för beräknade sist x - Ax och kollade om den vektorn var ortogonal mot E vilket den måste vara, men då måste jag ha slarvat när jag inte fick det till noll.

Skönt att jag inte var helt ute och cykla iaf, nu fattar jag bättre. Tack så mycket! :)

Din $e_n$ är en  korrekt ortogonal bas för underrummet. Och det stämmer att $(x-Ax)\cdot e_n=0$ (dvs ortogonal mot underrummet).

Om du inte får det att stämma räknetekniskt kan du visa dina försök  så kan vi säkert hitta felet.