Matrisen för linjära ekvationssystem för DE på Jordanform

Jordanform av en matris är en generalisering av matrisens diagonalisering.

Ifall matrisen $A$ är diagonaliserbar (d.v.s. ifall det finns en bas för $\mathbb{R}^2$ som består av $A$:s egenvektorer), så kan den skrivas på formen

$A = TDT^{-1}$, där $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ och $T$ har tillhörande egenvektorer som sina kolonner.

Ifall matrisen $A$ inte är diagonaliserbar (d.v.s. egenvektorer spänner upp ett äkta underrum av $\mathbb{R}^2$), så kan den skrivas på formen

$A = TJT^{-1}$, där $J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$ och $T$ har en egenvektor som första kolumn och en "generaliserad egenvektor" som andra kolumn, d.v.s.

• Första kolumnen i $T$ är vektorn $\boldsymbol{v}_1$ som är en icke-trivial lösning till ekvationen $(A-\lambda I) \boldsymbol{v}_1 = 0$
• Andra kolumnen i $T$ är vektorn $\boldsymbol{v}_2$ som är en lösning till ekvationen $(A-\lambda I) \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1$
  (OBS: Det är exakt egenvektorn $\boldsymbol{v}_1$ från första punkten som ska stå i HL)

I denna uppgift är matrisen inte diagonaliserbar. Hitta alltså egenvärdet och tillhörande egenvektor $\boldsymbol{v}_1$. Därefter hitta den "generaliserade egenvektorn" $\boldsymbol{v}_2$. På så sätt kan du bilda basbytesmatrisen $T$ och matrisens jordanform $J$

LuMa07 skrev:

Jordanform av en matris är en generalisering av matrisens diagonalisering.

---

Ifall matrisen $A$ är diagonaliserbar (d.v.s. ifall det finns en bas för $\mathbb{R}^2$ som består av $A$:s egenvektorer), så kan den skrivas på formen

$A = TDT^{-1}$, där $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ och $T$ har tillhörande egenvektorer som sina kolonner.

---

Ifall matrisen $A$ inte är diagonaliserbar (d.v.s. egenvektorer spänner upp ett äkta underrum av $\mathbb{R}^2$), så kan den skrivas på formen

$A = TJT^{-1}$, där $J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$ och $T$ har en egenvektor som första kolumn och en "generaliserad egenvektor" som andra kolumn, d.v.s.

• Första kolumnen i $T$ är vektorn $\boldsymbol{v}_1$ som är en icke-trivial lösning till ekvationen $(A-\lambda I) \boldsymbol{v}_1 = 0$
• Andra kolumnen i $T$ är vektorn $\boldsymbol{v}_2$ som är en lösning till ekvationen $(A-\lambda I) \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1$
  (OBS: Det är exakt egenvektorn $\boldsymbol{v}_1$ från första punkten som ska stå i HL)

---

I denna uppgift är matrisen inte diagonaliserbar. Hitta alltså egenvärdet och tillhörande egenvektor $\boldsymbol{v}_1$. Därefter hitta den "generaliserade egenvektorn" $\boldsymbol{v}_2$. På så sätt kan du bilda basbytesmatrisen $T$ och matrisens jordanform $J$

1) Yes men hur vet man om A är diagonaliserbar eller inte? Minns ej hur man såg det.

2) här nedan skriver du"egenvektorer spänner upp ett äkta underrum av R² " , vad menar du med äkta "underrum av R²"? Jättebra förklaring annars.

3) det som är förvirrande är om man ska göra den där variabelbyte med x=Ty efter man har hittat egenvärden till A, v1 och generaliserade vektorer v2 eller v3  eller innan?