Vinkel i en triangel inuti en kub

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du börjat? Hur långa är triangelns ben? :)

Eh vet inte står bara a

Kubens sidor har märkts ut som $a+a$, det stämmer! Men om du exempelvis tittar på den sida som ligger i botten av kuben (mittemot vinkeln v). Hur lång är den? Kan du beräkna dess längd på något sätt? :)

Aa okej 90 grader så blir Pythagoras, går det att räkna ut vinkeln exakt eller bara algebraiskt???

Du går händelserna i förväg – det vi tittar på just nu är sidan som inte har kontakt med vinkeln v, och dess längd går att beräkna algebraiskt. :)

2a^2 + a^2???

$\sqrt{2a^2+a^2}$, japp! Hur är det med sträckan som gränsar till vinkeln v, som ligger närmast oss i kuben? :)

A^2 plus A^2

Tredje längden diagonalen över kuben^2 plus A^2?

Sedan cosinus satsen??

(denna tråd försvann i min inkorg – nedan följer ett lösningsförslag för den som önskar, nu eller någon gång i framtiden)

Först och främst bör vi namnge triangelns sidor, så att det blir lite lättare att hålla isär dem:

Nu behöver vi först och främst hitta b, c och d:s längder. 

Eftersom vi har en kub, är kubens vinklar 90 grader. Det innebär att vi kan använda Pythagoras sats för att bestämma deras längder. Då får vi att: 

$$\begin{gathered} b^2=a^2+a^2\to b=a\sqrt{2} \\ {c}^2={\left(2a\right)}^2+a^2\to c=a\sqrt{5} \end{gathered}$$

Sträckan d är lite knepigare, men även den går att bestämma med Pythagoras sats. Dock måste vi först beräkna bottenkvadratens diagonal (sträckad grön linje nedan): 

Denna sträcka har sidorna 2a och 2a, vilket ger den längden $a\sqrt{8}$. Nu kan vi beräkna d: 

$d^2=a^2+{\left(a\sqrt{8}\right)}^2=9a^2\to d=3a$

Nu kan vi använda cosinussatsen för att beräkna v. 

Då får vi ekvationen $c^2=b^2+d^2-2bd·\cos \left(v\right)$, vilket, med våra värden på b, c och d, blir: 

$$\begin{gathered} {\left(a\sqrt{5}\right)}^2={\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(3a\right)}^2-2\left(a\sqrt{2}\right)\left(3a\right)·\cos \left(v\right) \\ 5a^2=2a^2+9a^2-6\sqrt{2}·a^2·\cos \left(v\right) \\ -6a^2=-6\sqrt{2}·a^2·\cos \left(v\right) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \left(v\right) \\ v=45° \end{gathered}$$