Matte 5 - 3346

I facit föreställer de sig en pyramid som står uppochned
med tippen i origo och basen rakt uppåt i $y$-led.
Dess höjd betecknas som $h$,
och sidan på dess kvadratiska bas betecknas som $a$.

Låt oss nu betrakta tvärsnittsytan av pyramiden i $xy$-planet.
Det är en triangel som mellan punkterna $\left(0,0\right)$, $\left(\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right., h\right)$, $\left(-\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right., h\right)$

Vid varje höjd $y$ kan vi skapa en ny triangel mellan punkterna $\left(0,0\right)$, $\left(x, y\right)$, $\left(-x, y\right)$
För att denna skall vara likformig med den första måste följande gälla:
$\frac{x}{y} =\hspace{0.17em}\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{h}$

$\Rightarrow x =\hspace{0.17em}\frac{ay}{2h}$

Om nu vi istället för trianglar föreställde oss likformiga pyramider
så skulle deras basarea kunna uttryckas enligt följande:
$A\left(y\right) =\hspace{0.17em}{\left(2x\right)}^2 =\hspace{0.17em}{\left(\frac{ay}{h}\right)}^2 =\hspace{0.17em}\frac{a^2{y}^2}{h^2}$

Men detta är även ett uttryck för tvärsnittsarean för den ursprungliga pyramiden vid olika höjder $y$

För att få volymen på den ursprungliga pyramiden behöver vi därför bara integrera uttrycket:
$V =\hspace{0.17em}{\int }_0^{h}A\left(y\right)dy =\hspace{0.17em}{\int }_0^h\frac{a^2{y}^2}{h^2}dy =\hspace{0.17em}{\left[\frac{a^2}{h^2}·\frac{y^3}{3}\right]}_0^h =\hspace{0.17em}\frac{a^{2}h}{3}$

Tack så jättemycket!