Matte 5 - avsvalning. Fråga b).
Jag har stött på detta problem och kommer inte fram till någon bra start på fråga b). Fråga a) har jag räknat ut.
På a) var Differentialekvationen följande:
y' = k(100 - y). y'(0) = 10 --> k = 0,125.
yh = Ce^(-0,125t)
yp = 100
y(t) = Ce^(-0,125) + 100
y(0) = 20 (rumstemperatur) --> C = -80
95 = -80e^(0,125t) + 100
t = ca 22 minuter.
Nu är jag på fråga b). Det första problemet jag stöter på är hur det har valt att skriva uppgiften: "Temperaturen i ugnen minskar då också proportionellt mot skillnaden mot rummets temperatur". Hur jag tolkar detta är att efter 15 minuter blir ugnens temperatur en egen funktion och inte längre en konstant(100 grader).
I uppgift a) har man valt att använda ugnens temperatur som "omgivningen", men vad rummets temperatur är, förvirrar mig. Är det ugnens temperatur innan denna minskning sker, eller är det något helt annat? Om jag utgår från att det är ugnens temperatur innan så är den 100 grader, vilket jag sedan tolkar att funktionen för ugnens temperatur borde vara något liknande: Z(t) = 100 - kt. (Z(0) = 100, alltså vid 15 minuter egentligen, kanske behöver göra om den ifall jag ser om det krockar)
Har jag tolkat rätt eller är jag helt ute och cyklar?
"Temperaturen i ugnen minskar då också proportionellt mot skillnaden mot rummets temperatur". Drt betyder att ugnens temperatur följer en exponentialfunktion. När ugnen är mycket varmare än rummet, svalnar den ganska snabbt. När ugnen har svalnat så att den bara är lite varmare än rummet svalnar den långsamt.
På a-uppgiften fick du fram att temperaturen för vattnet i muggen följde diffekvationen y' = k(100 - y). Nu är inte temperaturen i ugnen konstant 100o längre, utan den är en funktion. Du behöver först ta fram en funktion som beskriver hur temperaturen i ugnen varierar med tiden (den funktionen kommer att påminna om den du fick fram i a-uppgiften) och sedan skall du använda denna funktion för att göra en diffekvation som beskriver hur vattentemperaturen förändras.
Hoppas du får a-poäng för den här uppgiften!
Tack så jättemycket. Det låter mer rimligt än en linjär funktion. Jag satte in den nya exponentialfunktion in i differentialfunktionen. Fick en lite annorlunda partikulärlösning och tog fram något svar. Jag har inte mitt papper på mig nu men jag fick något runt 50 grader. Det fanns inget facit till denna fråga, men det verkar som ett rimligt svar.
Ett extra krånge är att först är ugnen varmare än vattnet i muggen, men ganska snart är det samma och sedan är ugnen svalare än vattnet. Så först värms vattnet lite till (vet inte om det är märkbart eller inte) och sedan svalnar vattnet, först väldigt långsamt och sedan snabbare.
Blir inte detta ett system av diff. ekv. och numerisk lösningen enda möjligheten?
u'=k_1(y-u)
y=k_2(20-y)
Denna ser inte helt självklar ut att lösa explicit.
Jag skulle tro att den som har konstruerat uppgiften inte har tänkt riktigt ända fram. Det är inte enkelt att hitta på bra matteuppgifter.
Min lösning blev väldigt budget för att jag använde 2 olika tider för samma situation. Men jag fick typ ett rimligt svar för att temperaturen för muggen borde vara större än ugnen. Iallafall, nu är provet skrivet och exakt denna fråga kom på provet. Den innehöll 6 A-poäng så jag hoppas att jag lyckades få några. Som sagt är uppgiften konstigt konstruerad.
Uppgiften är för svår för Ma5 tror jag och kanske de är "givmilda" i bedömning. Med numerisk metod skulle man kunna få en approximation iaf. men det framgår ej i uppgiften att detta skall göras. Idag är dock uppgifterna helt olika vad jag är van vid, man skall utreda och"hitta på" egna förutsättningar och lösningar.
