Matte 5 Induktionsbevis för summan av artimetisk talföljd

Jag har löst a och b

a)

Jag fick formeln för n:te talet till $a_n=5n-1$

b) 

Jag utgick från den vanliga artimetiska summa formeln från formelbladet och bytte ut $a_1$till 4 och $a_n$till formeln från a.

Jag kom fram till följande formel för summan:

$s_n=\frac{5n^2+3n}{2}$

c)

Jag började mitt bevis på följande vis:

1)

Bevisa att summan gäller när n=1

$\frac{5\times 1^2+3\times 1}{2}=4$ vilket stämmer

2)

Antagande att summan för alla tal upp till talet k stämmer

$s_k=\frac{5k^2+3k}{2}$

 

Då ser summan för k+1 tal ut på följande vis:

$\frac{5{(k+1)}^2+3(k+1)}{2}$= $s_{k+1}$

 

Och för att bevisa att det stämmer:

$\frac{5k^2+3k}{2}+\left(5\right(k+1)-1)$

Men när jag försöker förenkla detta och komma framm till summan för k+1 så fastnar jag. Jag börjar med att förlänga nämnaren så jag får

$\frac{5k^2+3k+10(k+1)-2}{2}$

 

Men sen när jag försöker förenkla kommer jag inte längre än

$\frac{5{(k+1)}^2+8k+3}{2}$

Jag försökte göra om det flera gånger men kommer inte längre än såhär, kanske gör något fel någonstans hade uppskattat om någon kunde visa hur dom hade förenklat!

 

Tack på förhand!