Matte 5 Integraler och integrationsmetoder

Du har en cirkelarea markerad i figuren.
Dess area, A, gånger en liten 'tjocklek' ,dy, ger en volym som du kan integrera från y=0 till toppen där y=4

Då kan du bilda en integral som beräknar volymen med avseende på y

Det innebär att du får uttrycka x i y.
Vad får du för uttryck för arean A?

Hej, jag får 8 som area enheter, är det rätt?

Nja, arean A kan skrivas $\mathrm{A}=\mathrm{\pi }·{(2-\mathrm{x})}^2$

Och volymen av denna skiva blir $dV=A·dy=\mathrm{\pi }·{(2-\mathrm{x})}^2 \mathrm{dy}$

Nu kan du bilda hela volymen V med integral

Sedan kan du bestämma om du vill integrera med avseende på y eller x

Patrik247 skrev:

Hej, jag får 8 som area enheter, är det rätt?

 

Nej, arean måste vara olika på olika höjd. Om y = 0 så är radien 2 och arean är $4\pi$.Om y = 2 så är radien 1 och arean är $\pi$. Om y = 2 ...

Förstår fortfarande inte, skrev ner min uträkning men den var helt fel.

Uttrycket för volymen V blir: $V={\int }_{}^{}\mathrm{\pi }·{(2-\mathrm{x})}^2 \mathrm{dy}$

Men om vi vill integrera med avseende på x, så måste vi hitta ett samband mellan y och x
Och det har vi i $y=x^2$

Ur detta kan vi få $dy=2x dx$

Så nu har vi integralen $V={\int }_{}^{}\mathrm{\pi }·{(2-\mathrm{x})}^2·2\mathrm{x} \mathrm{dx}$

Men vilka är integrationsgränserna ?

intergrationsgränserna är 0 och 4.

räknade in med formeln du gav och fick 64π/3 vilket är 67,02

Vet ej om det är rätt, det känns som om något saknas

Nej, integrationsgränserna uttryckt i x är 0 till 2 (se figuren)

är det linjen som är i mitten i figuren i x linjen?

Om du följer kurvan $y=x^2$upp till toppen så ser du att x går från 0 till 2, dvs linjen i mitten

Visa gärna hur du beräknar integralen och tar fram den primitiva funktionen - så kan vi följa dina beräkningar

tänkte på att man börjar såhär, och sedan så räknar man ut svaret

Det här är lösningen jag fick

Hej, upptäckte att du missade en parantes där! Sådant är viktigt på prov, skulle blivit segt att förlora ett poäng för en sådan små sak. Var mer varsam i framtiden, så vi inte gör sådana misstag.

Mvh Hannes :-)

Vart någonstans missade jag parantesen

Bra redovisning och helt rätt

Om jag skulle räkna fram den här volymen skulle jag börja med att "flytta" tratten så att den roterar runt y-axeln istället. Då blir funktionen y = 4-x², eller x² = 4-y. Tvärsnittet är en cirkelskiva med radien x, så arean blir $\pi x^2=\pi(4-y)$. Integranden blir alltså $\pi(4-y)$, och integrationsgränserna blir y = 0 och y = 4.

Om jag skulle göra det på det där sättet ska man få svaret 64$\mathrm{\pi }$/3

Patrik247 skrev:

Om jag skulle göra det på det där sättet ska man få svaret 64$\mathrm{\pi }$/3

Hur fick du fram det? En kon med höjden 4 och radien 2 har volymen 16pi/3, och konen är större. Du måste ha räknat fel - du verkar ha räknat ut volymen för en cylinder.

Skrev fel, men hur fick du svaret 16$\mathrm{\pi }$/3.

Kan du visa din uträkning snälla

Patrik247 skrev:

Skrev fel, men hur fick du svaret 16$\mathrm{\pi }$/3.

Kan du visa din uträkning snälla

Den volymen gäller inte för tratten, utan för en kon. Volymen för en kon ( eller in pyramid) är $h A_B/3$ där A_B är basarean som i det här fallet är en cirkel med radien 2, så konens volym är $\pi h r^2/3$ där r har värdet 2 och h har värdet 4.

så det blir  $\frac{\mathrm{\pi }*4*2^2}{3}$är det man ska lösa för att få den totala volymen för konen