Matte- fysikprovet 2015, fråga 2

Spontant skulle jag beräkna x^2. Vad får du?

Första termen är större än $\sqrt5$ och andra termen är större än 0, så man kan i alla fall genast utesluta alternativ (c).

Det naiva sättet att förhålla sig till rotuttryck är att kvadrera och i alla fall se vad som händer

Vi kan utifrån kvadreringsregeln på rötter

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$

Få att

$x^2 = 3 + 2 \sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{(3 + 2\sqrt{2})(3- 2\sqrt{2})}$

$x^2 = 6 + 2 \sqrt{9 - 8} = 6 + 2 = 8$

Från vilket x = 2sqrt(2) eller x = -2sqrt(2) men endast +2sqrt(2) är giltig då en summa av två rotuttryck är en summa av två positiva termer och därmed ett positivt tal.

Det finns en generellare familj av algoritmer för hur man kan förhålla sig till rotuttryck men förhoppningsvis förefaller själva gissningen om att testa kvadrering rimligt. 

**edit: snabbändrar 4 till 8 men kan förstås finnas fler fel. 

Slarvfel Serious!

$x^2=8$

Hej!

Notera symmetrin

    $\sqrt{3+a}+\sqrt{3-a}$ där $a = 2\sqrt{2}.$

Det medför att

    $x^2 = (3+a)+(3-a) + 2\sqrt{(3+a)(3-a)}$

och Konjugatregeln ger

    $x^2 = 6+2\sqrt{9-a^2} = 6+2\sqrt{9-8} = 6+2 = 2\cdot 4.$

Tack för hjälpen alla!