8 svar
164 visningar
BrunoX55 är nöjd med hjälpen
BrunoX55 25
Postad: 2 nov 2021 08:29

Matte uppgift från tävling för åk 9

Hej, jag har försökt att lösa denna uppgift men jag kommer ingen vart. Vet inte ens hur jag ska börja efter jag ritat upp figuren. Det skall ej krävas mer kunskap än det man lär sig i åk 9.

 

5. I parallelltrapetset ABCD är AB och CD parallella. Förläng BA till E så att |AE| =
|CD| och A ligger mellan B och E. Förläng på samma sätt DC till F så att |CF| = |AB|
och C ligger mellan D och F. Låt G vara skärningspunkten för diagonalerna AC och BD,
och låt H vara skärningspunkten för AC och EF. Visa att |AG| = |CH|.
(Beteckningen |AB| betyder längden från A till B.)

joculator 5289 – F.d. Moderator
Postad: 2 nov 2021 08:42 Redigerad: 2 nov 2021 09:32

ladda upp din figur

 

Edit: Så här tolkar jag uppgiften:
Är det så du tolkar den?

BrunoX55 25
Postad: 2 nov 2021 11:17

Ja!

BrunoX55 25
Postad: 2 nov 2021 11:19 Redigerad: 2 nov 2021 11:31

Vänta lite så länge jag kan få reda på att triangel ABG och CHF är likbenta så är de klatt.

 :)

Laguna Online 29325
Postad: 2 nov 2021 11:31

Vinkeln AHE  är lika med CHF, och AEH är lika med CFH.

BrunoX55 25
Postad: 2 nov 2021 11:42 Redigerad: 2 nov 2021 13:57

 

 


Tillägg: 2 nov 2021 14:43

Jag kan fortfarande ej lösa uppgiften :/

Programmeraren 3387
Postad: 3 nov 2021 11:40

Jag tror att hjälplinjer som visar att det alltid blir ett parallellogram kan hjälpa:

Samma figur lite städad:

När det är en rektangel är beviset uppenbart (symmetri):

Men i ett parallellogram har sidorna alltid samma längd oavsett lutning. AG och CH måste således ha samma längd oavsett lutningen, dvs oavsett hur den ursprungliga parallelltrapetsen såg ut.
Känner mig dock inte helt nöjd, går säkert att visa det mycket snyggare.

joculator 5289 – F.d. Moderator
Postad: 3 nov 2021 12:48

Jag gillar Programmerarens visuella bevis. Väldigt tydligt.

Jag tänkte mer på likformigheten med "Vinkeln AHE  är lika med CHF, och AEH är lika med CFH." Det ger att EAH=HCF
Det ger 2 trianglar som har alla vinklar lika. Och eftersom |CF| återfinns i båda trianglarna kommer alla sidor vara lika, även |AG|=|CH|

Här har jag tagit trinageln CFH och roterat och transporterat den för att visa tydligare:

Jan Ragnar 1762
Postad: 3 nov 2021 13:02

De båda stora streckade trianglarna är lika stora, eftersom de har gemensam bas och samma höjd sett från ED. De små streckade trianglarna är likformiga med de större, deras baser är parallella med ED och har då samma ytor. Då är också AG = HC.

Svara Avbryt
Close