14 svar

139 visningar

Marwa99 är nöjd med hjälpen

Matteuppgift.

Hej, jag skulle behöva hjälp med uppgiften:

En patient får sin medicin intravenöst på ett sådant sätt att medicinen tillförs blodet med konstant hastighet. Detta sker med hastigheten k mg/h. När det gått t timmar sedan medicineringen påbörjades, har patienten medicinmängden M mg i blodet. Från början innehöll blodet C mg av medicinen.

a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver situationen ovan, givet att vi antar att medicinen försvinner med en hastighet som är proportionell mot den aktuella medicinmängden.

b) Lös ekvationen och bestäm funktionen M.

c) Kommer medicinmängden i blodet att öka kontinuerligt om man fortsätter att medicinera patienten på det här sättet? Motivera.

Jag vet i a) ska svaret blir $M' = i n - u t$ vilket blir $M' = k - t M$

Men b) jag hänger inte alls med tyvärr.

Hej!

Jag tycker din lösning på a ser mystisk ut. Hur kom du fram till den?

JohanF skrev:
Hej!

Jag tycker din lösning på a ser mystisk ut. Hur kom du fram till den?

Patienten får medicin intravenöst med konstant hastighet och sedan medicinen försvinner ur blodet med en hastighet proportionell mot den aktuella medicinmängden vilket blir M' = IN -Ut , och in (k). Ut (M) multiplicerat med en konstant. De satte konstanten (t) => M' = k - tM

Det är valet av bokstav för konstanten som är förvirrande. Eftersom massan M är en tidsberoende funktion används normalt bokstaven t som tidsvariabel. Därför förvirrande om bokstaven t användes för att beteckna en konstant.

Är detta facits lösning på uppgift a?

JohanF skrev:
Det är valet av bokstav för konstanten som är förvirrande. Eftersom massan M är en tidsberoende funktion används normalt bokstaven t som tidsvariabel. Därför förvirrande om bokstaven t användes för att beteckna en konstant.

Är detta facits lösning på uppgift a?

Jag har tyvärr ingen facit.

Ok, det förklarar det hela. Då säger vi istället att svaret på fråga a är

M'=k-pM

där k och p är konstanter. t låter vi vara vara variabeln som beskriver tid, och används ingen annanstans. Om du använder bokstaven t för något annat än tiden i ett tidsberoende uttryck, så kommer uttrycket att betyda något helt annat än det du egentligen ville.

Vad är den allmänna lösningen M(t), till ovanstående differentialekvation?

JohanF skrev:
Ok, det förklarar det hela. Då säger vi istället att svaret på fråga a är

M'=k-pM

där k och p är konstanter. t låter vi vara vara variabeln som beskriver tid, och används ingen annanstans. Om du använder bokstaven t för något annat än tiden i ett tidsberoende uttryck, så kommer uttrycket att betyda något helt annat än det du egentligen ville.

Vad är den allmänna lösningen M(t), till ovanstående differentialekvation?

Jag har försökt, men jag känner att jag inte kommer någonstans. Jag har svårt att greppa hur jag ska gå tillväga.

Det är en inhomogen differentialekvation av första ordningen du ska hitta lösningen till. Den allmänna lösningen till den homogena diffekvationen

$M' + p M = 0$

är

$M_{h} (t) = A \cdot e^{- p t}$

Det är du med på eller hur?

Hur kan du hitta partikulärlösningen $M_{p} (t)$ till $M' + p M = k$ ?

JohanF skrev:
Det är en inhomogen differentialekvation av första ordningen du ska hitta lösningen till. Den allmänna lösningen till den homogena diffekvationen

$M' + p M = 0$

är

$M_{h} (t) = A \cdot e^{- p t}$

Det är du med på eller hur?

Hur kan du hitta partikulärlösningen $M_{p} (t)$ till $M' + p M = k$ ?

$M_{p} = \frac{k}{p} x + k$ ?

Nästan. Den beroende variabeln är tiden t i ekvationen, inte x. (Det var därför jag inte ville att du skulle beteckna konstanten med bokstaven t).

Jag tycker att partikulärlösningen borde bli

$M_{p} (t) = \frac{k}{p}$

(Sätt in i diffekvationen och prova).

Vad blir alltså allmänna lösningen till den inhomogena diffekvationen?

Sedan har du ett begynnelsevillkor $M (0) = C$ , som du kan sätta in.

Hänger du med?

JohanF skrev:
Nästan. Den beroende variabeln är tiden t i ekvationen, inte x. (Det var därför jag inte ville att du skulle beteckna konstanten med bokstaven t).

Jag tycker att partikulärlösningen borde bli

$M_{p} (t) = \frac{k}{p}$

(Sätt in i diffekvationen och prova).

Vad blir alltså allmänna lösningen till den inhomogena diffekvationen?

Sedan har du ett begynnelsevillkor $M (0) = C$ , som du kan sätta in.

Hänger du med?

Jag tror att jag har fel nånstans ?

Förutom att du har använt samma bokstav för startvärdet M(0), som för den godtyckliga konstanten i allmänna lösningen, så tror jag inte det är något fel.

Vad måste gälla för den där funktionen för att den ska öka kontinuerligt?

JohanF skrev:
Förutom att du har använt samma bokstav för startvärdet M(0), som för den godtyckliga konstanten i allmänna lösningen, så tror jag inte det är något fel.

Vad måste gälla för den där funktionen för att den ska öka kontinuerligt?

Att medicin mängden i blodet förändras och kommer att närma sig det konstanta värdet $\frac{k}{a}$ mg?

Ja, en slutsats är att mängden kommer att närma sig värdet $M (t \to \infty) = \frac{k}{p}$ .

En annan slutsats är då att om initialvärdet $M (0) = C$ är större än $\frac{k}{p}$ , så kommer mängden att sjunka kontinuerligt mot $\frac{k}{p}$ ( $M' > 0$ ). Och om initialvärdet $C$ är mindre än $\frac{k}{p}$ så kommer mängden att öka kontinuerligt ( $M' > 0$ ) mot $\frac{k}{p}$ .

Hänger du med?

JohanF skrev:
Ja, en slutsats är att mängden kommer att närma sig värdet $M (t \to \infty) = \frac{k}{p}$ .

En annan slutsats är då att om initialvärdet $M (0) = C$ är större än $\frac{k}{p}$ , så kommer mängden att sjunka kontinuerligt mot $\frac{k}{p}$ ( $M' > 0$ ). Och om initialvärdet $C$ är mindre än $\frac{k}{p}$ så kommer mängden att öka kontinuerligt ( $M' > 0$ ) mot $\frac{k}{p}$ .

Hänger du med?

Ja, stort tack för din hjälp :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar