Matteutmaning - Beräkna intressant summa

Börja med att skriva om $\zeta(4n+2)$ med dess definition: 

$\zeta(4n+2)$$\displaystyle = \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^{4n+2}}} = \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2\cdot k^{4n}}}$

Sätt in detta i uttrycket, så får vi: 

$\displaystyle L = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n \zeta(4n+2)}{4^n (2n+1)}} =\sum_{n=0}^\infty{\sum_{k=1}^\infty{\frac{(-1)^n}{4^n \cdot k ^{4n}\cdot k^2\cdot (2n+1)}}}$

Denna summa konvergerar absolut (jämförelsetest) och då kan vi byta ordning på summeringen. 
Så, 

$\displaystyle L =\sum_{k=1}^\infty{\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{4^n \cdot k ^{4n}\cdot k^2\cdot (2n+1)}}}$

Notera nu att den inre summan liknar serieutvecklingen för $\tan^{-1} x$, 

$\displaystyle \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}}$, $|x| < 1$

Uttrycket i nämnaren, $4^n \cdot k^{4n}\cdot k^2$ kan skrivas om: 
$\displaystyle 4^n \cdot k^{4n}\cdot k^2 = (4k^4)^n \cdot k^2 = (2k^2)^{2n} \cdot k^2$

Tag nu och multiplicera och dividera med två för att få:

$(2k^2)^{2n}\cdot 2k^2$$\displaystyle \cdot \frac 12$$= (2k^2)^{2n+1}$$\displaystyle \frac 12$

Substituera in detta i summan så får vi: 

$\displaystyle L =\sum_{k=1}^\infty{\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{(2k^2)^{2n+1} \frac 12\cdot (2n+1)}}} = 2\sum_{k=1}^\infty{\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{(2k^2)^{2n+1}\cdot (2n+1)}}}$

En sista omskrivning ger oss:

$\displaystyle L =  2\sum_{k=1}^\infty{\sum_{n=0}^\infty{\frac{\left(-1\right)^n\left(\frac{1}{2k^2}\right)^{2n+1}}{(2n+1)}}}$

Nu är den inre summan exakt serieutvecklingen av $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2k^2}\right)$. Vilket ger oss

$\displaystyle L = 2\sum_{k=1}^\infty{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2k^2}\right)}$

Detta är en känd summa. Med induktion kan man visa att 
$\displaystyle \sum_{k=1}^N{\tan^{-1}\left(\frac{1}{2k^2}\right)} = \tan^{-1}{\left(\frac{N}{N+1}\right)}$

Då blir värdet på summan $\displaystyle \frac \pi 4$ när $N \to \infty$

Slutligen har vi alltså att 

$\displaystyle L = 2 \frac \pi 4 = \frac \pi 2$