Maximal volym
jag behöver hjälp med uppg b. Jag har räknat ut den maximala volymen för kuben men förstår inte hur jag ska göra för rätblocket
För uppgift (b) så vet du:
längd + 2*bred + 2*höjd = a,
där a är vilket tal som helst (vi vill undersöka om relationen mellan volymerna ändras mellan rätblocket och kuben oavsätt begränsningen).
För rätblocket så är bredd = höjd = x så vi får att l + 4x = S vilket är det samma som l = S - 4x. För att räkna volymen för rätblocket så för vi funktionen V(x) = (S-4x)*x^2 = Sx^2-4x^3, och för att räkna maximi värdet så kan man ta derivatan med avseende på x och sedan lösa V'(x) = 0, då får man x = S/6 och x = 0 dock så är x = 0 inte en giltig rot eftersom volymen blir noll då. Man kan också bekräfta att denna lösningen är alltid en extrempunkt genom att ta andra derivatan med x-värdet S/6:
V''(S/6) = 2S - 24*S/6 = -2S < 0 (för alla positiva S värden).
Längden blir då l = S/3 och kvadratens volym blir:
V_kvad = S^3/108.
För kuben är det lättare eftersom du endast har en variabel, då får du att 5x = S alltså x = S/5 vilket medför att volymen blir:
V_kub = S^3/125
Det är klart att V_kvad > V_kub för alla S värden, eftersom att nämnaren är mindre för V_kvad.
