Medelhastighet på en pendelkula

Hej! Jag höll på med denna uppgift:

"En pendel består av en liten blykula som är upphängd i en mycket lätt tråd med längden $\ell$. Pendeln försätts i svängningar med maximala utslagsvinkeln $10^\circ$. Visa att pendelkulans medelhastighet från ena vändläget till det andra är mycket nära $\frac{\sqrt{\ell g}}9$"

Jag tog en rätt så matematisk väg och verkade inte leda fram till dit man ska. 

Min ide är att hastigheten kommer bero av vinkeln, så om jag hittar en funktion som beskriver hastigheten som en funktion av vinkeln och beräknar medelvärdet på denna funktion så har vi svaret.

Vi kan se pendeln såhär:

Vid gränserna har kulan hastigheten 0. Då är all energi lägesenergi. Om vi låter höjden "0" vara längst ned i mitten får vi med trigonometri att när kulan är längst ut till vänster är höjden $h = \ell(1-\cos (10^\circ))$

Då är energin där $E = mgh = mg\ell (1-\cos (10^\circ))$
Eftersom energi är konstant kommer detta vara den totala energin genom rörelsen. 

På liknande sätt kan vi beräkna höjden för en viss vinkel på pendeln. 

Med trigonometri får vi att $h(\varphi) = \ell(1-\cos\varphi)$. Då får vi att lägesenergin för en viss punkt på pendeln är
$mg\ell(1-\cos\varphi)$ 
Detta ger oss att rörelseenergin vid en viss vinkel är
$E_k = E - mg\ell(1-\cos\varphi) = mg\ell (1-\cos (10^\circ)) - mg\ell(1-\cos\varphi) = mg\ell(\cos(\varphi) - \cos(10^\circ))$
Eftersom $E_k = \dfrac{mv^2}2$ har vi $v = \sqrt{\dfrac{2E_k}m} = \sqrt{2g\ell(\cos(\varphi) - \cos(10^\circ))}$

Då är det bara att finna medelvärdet på denna funktion när $\varphi$ går mellan 0 och $10^\circ$ ($= \frac{\pi}{18}$)
Medelvärdet över ett intervall på en funktion är integralen över intervallet / längden. Så:

$\displaystyle v_m = \frac{18}{\pi}\int\limits_0^\frac{\pi}{18}{\sqrt{2g\ell(\cos(\varphi) - \cos(10^\circ))}d \varphi}$
$\displaystyle v_m =\sqrt{g\ell}\frac{18 \sqrt{2}}{\pi}\int\limits_0^\frac{\pi}{18}{\sqrt{\cos(\varphi) - \cos(10^\circ)}d \varphi}$

Problemet är att denna integral inte har en elementär antiderivata och sedan är det numeriska värdet inte ens särskilt nära $1/9$. 

Jag skulle kunna ersätta $\cos{\varphi}$ med $1- \frac{\varphi^2}2$ och beräkna integralen på det sättet. Men jag tror att man bara ska göra någon förenkling eller avrundning tidigare. Vart?