2 svar
51 visningar
AlexMu behöver inte mer hjälp
AlexMu Online 249
Postad: 10 nov 13:59 Redigerad: 10 nov 14:12

Medelkraft på en elektron i cirkelrörelse i ett magnetiskt fält

Hej. Frågan är:

"Ett homogent vertikalt magnetfält har ett rektangulärt tvärsnitt PQRS, se figur:"

(halvdålig återskapelse av figuren)

"En horisontell ström av elektroner kommer in i fältet vid A, vinkelrätt mot PQ med farten 6.26.2 Mm/s.
De böjs och lämnar åter fältet vinkelrätt mot PQ vid B. Avståndet AB är 0.1200.120 m. Elektronstrålen befinner sig hela tiden i vakuum. Bortse från jordmagnetiska fältet och gravitationen."

b-uppgiften är följande:
"Hur stor medelkraft vinkelrätt mot PQ verkar på elektronerna under den tid de rör sig i magnetfältet?"

Min lösning: 
Kraften som verkar vinkelrätt mot PQ blir FsinαF \sin{\alpha}, där FF är den magnetiska kraften och α\alpha är vinkeln som elektronen gör med mittpunkten på halvcirkeln. Om man då vill ha en approximation på medelkraften kan man välja ut nn vinklar och beräkna dessa värden och sedan dela summan med antalet termer, nn. Alltså får man att 
Fmedel1nk=0nFsinπkn\displaystyle F_{medel} \approx \frac 1n \sum_{k=0}^{n}{F\sin{\left(\frac{\pi k}{n}\right)}}
Låter man antalet vinklar gå mot oändlighet får man då en likhet
Fmedel=limnFnk=0nsinπkn\displaystyle F_{medel} = \lim_{n \to \infty} \frac{F}{n} \sum_{k=0}^{n}{\sin{\left(\frac{\pi k}{n}\right)}} =Flimnk=0nsinπkn1n\displaystyle = F \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}{\sin{\left(\frac{\pi k}{n}\right)} \frac 1n}
Om vi multiplicerar in π\pi i summan blir det en riemannsumma av 0πsinxdx\displaystyle \int\limits_0^\pi{\sin{x}\, dx}
Därför är Fmedel=Fπ0πsinxdx=2Fπ\displaystyle F_{medel} = \frac F\pi \int\limits_0^\pi{\sin{x}\, dx} = \frac{2F}{\pi}
Vi kan beräkna F som mv2r\displaystyle \frac{mv^2}{r} eftersom elektronerna rör sig i en cirkel.
Då får vi slutligen att Fmedel3.7·10-16N\displaystyle F_{medel} \approx 3.7 \cdot 10^{-16}N 

Detta svar stämmer enligt facit men jag tror inte att det var såhär det var tänkt att man skulle lösa uppgiften. Jag tycker min väg är rätt så komisk, men kanske inte det jag vill använda i framtiden! Hur ska man lösa det? Jag tänker att vi har ett medelvärde över ett kontinuerligt intervall och då borde man väl behöva beräkna en integral?

SaintVenant 3949
Postad: 10 nov 16:31 Redigerad: 11 nov 00:22

Du kan räkna med impuls istället. Medelkraften fås som:

F¯=ΔpΔt\bar{F} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}


Tillägg: 11 nov 2024 00:18

Notera för din info att:

Δp=0ΔtFtdt\displaystyle \Delta p = \int_0^{\Delta t} F\left(t\right) dt

Så resultatet följer naturligt eftersom medelvärdet av en funktion i ett intervall är integralen över intervallet delat med längden på det.

AlexMu Online 249
Postad: 11 nov 15:56
SaintVenant skrev:

Du kan räkna med impuls istället. Medelkraften fås som:

F¯=ΔpΔt\bar{F} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}


Tillägg: 11 nov 2024 00:18

Notera för din info att:

Δp=0ΔtFtdt\displaystyle \Delta p = \int_0^{\Delta t} F\left(t\right) dt

Så resultatet följer naturligt eftersom medelvärdet av en funktion i ett intervall är integralen över intervallet delat med längden på det.

Juste! Tack!

Svara
Close