Medelvärdessats för integraler?

Man kan börja precis som du gjort och utnyttja den enkla varianten på medelvärdessatsen

för att få fram ett $\xi_1 \in (0, 1)$ sådant att $f(\xi_1)=0$. Då har man visat att det finns (minst) ett nollställe.

Det gäller också att $0=\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^{\xi_1} f(x)\,dx + \int_{\xi_1}^1 f(x)\,dx$, vilket innebär att

$\int_0^{\xi_1} f(x)\,dx = -\int_{\xi_1}^1 f(x)\,dx$

Antag att det bara finns ett enda nollställe, nämligen $\xi_1$ som hittats ovan. Då skiftar $f$ inte tecken på intervallet $(0, \xi_1)$ och inte heller på intervallet $(\xi_1, 1)$. Därmed kommer man kunna utnyttja den lite mer avancerade varianten på medelvärdessatsen för att få en motsägelse:

$\displaystyle 0 = \int_0^1 x f(x) dx = \int_0^{\xi_1} x f(x)\,dx + \int_{\xi_1}^1 x f(x)\,dx = c_1 \int_0^{\xi_1} f(x)\,dx + c_2 \int_{\xi_1}^1 f(x)\,dx$,

där $c_1 \in (0, \xi_1)$ och $c_2 \in (\xi_1, 1)$. I synnerhet är $c_1 < c_2$. Eftersom $\int_0^{\xi_1} f(x)\,dx = - \int_{\xi_1}^1 f(x)\,dx$, så fås

$(c_1 - c_2)\int_0^{\xi_1} f(x)\,dx = 0$,

vilket i sin tur innebär att $\int_0^{\xi_1} f(x)\,dx = 0$. Men det är omöjligt då $f$ inte växlar tecknet på detta intervall

Hittade ett alternativt bevis här.

Villkoret att $\int_0^1 f(x) = 0$ medför att $f$ någonstans växlar tecken, så länge inte $f$ är identiskt 0, men då är vi klara. Så låt oss anta att f inte är identiskt 0.

Att $f$ växlar tecken vid något nollställe $r$ innebär att $f(r-\varepsilon)f(r+\varepsilon)<0$ för tillräckligt litet $\varepsilon$.

Antag att detta är det ända nollstället där $f$ växlar tecken. Då har $(x-r)f(x)$ samma tecken på hela intervallet, och är inte identiskt noll eftersom $f$ inte är det. Alltså är $\int_0^1 (x-r)f(x) \neq 0$. Detta motsäger antagandet att $\int_0^1 f(x) = \int_0^1 xf(x) =0$. Alltså måste $f$ ha minst två nollställen (där den växlar tecken).

Två anmärkningar.

1. Jag tror inte att den mer avancerade medelvärdessatsen ingår i kursen.

2. En följdfråga är sen att visa att mönstret fortsätter, dvs att om integralerna från 0 till 1 för både f(x), xf(x) och x²f(x) är noll har f(x) tre nollställen osv!

2. Då är det nog metoden i Gustors svar som kan generaliseras.

Antag att $\int_0^1 x^k f(x)\,dx = 0$ för alla $k=0,1,\ldots,N$. Vill visa att $f$ inte kan ha bara $N$ eller färre nollställen (multiplicitet är medräknad i detta antal), utan det måste finnas fler. För motsägelsens skull anta att det bara finns $n$ nollställen där $n \le N$ och att dessa betecknas $r_1, r_2, \ldots, r_{n}$ (nollställena med högre multiplicitet får upprepas i denna lista).

Då kan man bilda funktionen $g_{n}(x) = f(x)\cdot\prod_{k=1}^{n} (x-r_k)$. Denna funktion har samma tecken på hela intervallet $[0,1]$ och det finns bara $n$ punkter där $g_{n}$ har värdet 0. Således är

$\int_0^1 g_{n}(x)\,dx \neq 0$.

Eftersom $g_{n}$ är bara funktionen $f$ multiplicerad med ett polynom av gradtalet $n$ (och $n \le N$), så ger antagandet och integralens linjäritet att $\int_0^1 g_{n}(x)\,dx = 0$, d.v.s. motsägelse.

Se ovan.