mekanik 1

Först och främst behöver du komma över din rädsla för cylinderkoordinater.

Hur många varv behöver bilen köra i spiralen per våningsplan?

Om bilen ska ta sig upp det vertikala avståndet $d$ under ett varv ges korvskruvens parametrisering av

$\mathbf{r}(\theta)=(r\cos(\theta), r\sin(\theta), \frac{d}{2\pi}\theta)$

Där är $r$ är avståndet till spiralens centrumlinje, $d$ är det vertikala avståndet mellan våningsplanen och $\theta$ är vår löpvariabel. För att köra 3 våningar behöver vi då låta $\theta$ löpa från $0$ till $3\cdot 2\pi$

Vill du prompt arbeta med rektangulära koordinater kan du nu transformera uttrycket.

Som Jroth säger, cylindriska koordinater måste vara absolut mest rättfram här, speciellt när vinkeln (och vinkelhastigheten) ska användas som parameter. 

Angående tiden, borde kunna räknas ut vektoriellt utan att först behöva parametrisera en funktion, på enklaste sätt genom att subtrahera hastighetens z-komposant från den i uppgiften angivna hastigheten (triangel med samma vinkel som stigningen i spiralen). Hur lång tid tar det sedan att köra ett varv?

Vad jag kan se så står det faktiskt inte i uppgiften hur många varv ett våningsplan är, men man får väl anta att det är ett varv?

Jag antar att det är ett varv per våningsplan så 3 varv totalt som du skrev. 

$r\left(\theta \right)=\left(r\cos \right(\theta ), r\sin (\theta ), \frac{d}{2\mathrm{\pi }}\theta )$ 

Om jag sätter in 2π i parametriseringen för att få koordinaterna efter ett varv får jag: r= (7,0,4) vilka är xyz koordinaterna efter ett varv vilket borde stämma.

För att köra 3 våningar och låta θ löpa från 0-6π är jag däremot inte riktigt med på. Det är väl att ta de tidigare koordinaterna gånger 3 så man får (21, 0, 12), så enkelt kan det väl inte vara.

Tack för ditt svar tidigare och på förhand i nästa svar :)

För att köra 3 våningar och låta θ löpa från 0-6π är jag däremot inte riktigt med på. Det är väl att ta de tidigare koordinaterna gånger 3 så man får (21, 0, 12), så enkelt kan det väl inte vara.

Menar du att radien tre våningar upp är 21 m? Det står i uppgiften att avstånden till spiralens centumlinje är 7 m.

Just det. Du har helt rätt såg jag nu. Det fungerar ju inte.

Hur låter jag vinkeln löpa från 0-3*2π?

Du startar i punkten (7,0,0)

Efter 1 varv har du åkt upp en våning och är i punkten (7,0,4)

Efter 2 varv har du åkt upp en våning och är i punkten (7,0,8)

Efter 3 varv har du åkt upp en våning och är i punkten (7,0,12)

Dvs, för varje varv åker du runt en hel omkrets ($O=2\pi r$) i xy-planet samtidigt som du rör dig $d=4m$ i z-led. Är du med på det?

Som JohanF påpekar ovan är det förmodligen enklast att använda pythagoras sats och beräkna sträckan (eller hastigheten) direkt

För varje varv kör du alltså sträckan

$s=\sqrt{O^2+d^2}$

Du ska totalt köra 3 varv, hur långt är det? Hur lång tid tar det?

För att sedan få fram ett uttryck för hastighetsvektorn skulle jag föreslå att du deriverar uttrycket $\mathbf{r}(\theta (t))$ med avseende på tiden.

Tänk på att $\theta(t)=\omega t$ vilket betyder att $\frac{d\theta(t)}{dt}=\omega$.

-------------------------------------------------------------------------

Min ursprungliga idé var förövrigt att beräkna sträckan med linjeintegralen

$\int_0^{6\pi}|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}|\,d\theta$

Vilket självklart ger samma resultat, men kräver lite krångligare räkningar.

Ni är så otroligt hjälpsamma.

Tack så jättemycket.