Mekanik 1 - Dynamik | Rätt genomförande?

Tja, det står att T varierar, och då borde a och b kunna vara olika, tycker jag.

Hmm jo det är sant. Men en grej som jag tycker är konstigt är HUR? Liksom hur, oavsett hur T varierar kan det få kulan att genomföra denna rörelsen? Idk det känns omöjligt...eller aa vänta... vi hade ju en hastighet också... juste

Alla planeter rör sig i ellipser snarare än cirklar, så det är inte så konstigt. T får variera enligt gravitationslagen.

Visserligen är solen inte i mitten av ellipsen, så det kanske krävs ett annat samband för T.

Laguna skrev:

Alla planeter rör sig i ellipser snarare än cirklar, så det är inte så konstigt. T får variera enligt gravitationslagen.

Visserligen är solen inte i mitten av ellipsen, så det kanske krävs ett annat samband för T.

Aaa juste, det tänkte jag inte på

Det ser ut som du har svarat rätt med flax.

Rörelsemängdsmomentet bevaras. V_Aa = V_Bb.  Centralkraft.

Sedan gäller det att T_B = m$\frac{v_B^2}{\rho }$. Där $\rho$ är krökningsradien i B - obs den är inte b.

PATENTERAMERA skrev:

Det ser ut som du har svarat rätt med flax.

Rörelsemängdsmomentet bevaras. V_Aa = V_Bb.  Centralkraft.

Sedan gäller det att T_B = m$\frac{v_B^2}{\rho }$. Där $\rho$ är krökningsradien i B - obs den är inte b.

Så vad är krökningsradien? Och blir inte vA=vB ty den glider/ingen acceleration?

Nej. v_B = v_Aa/b. Hastigheten är inte konstant, men det är rörelsemängdsmomentet. Det gäller generellt vid centralkraft. Kolla i bok.

Krökningsradien måste du räkna ut. Om det inte står något i boken så får du repetera formeln från envariabelkursen.

PATENTERAMERA skrev:

Nej. v_B = v_Aa/b. Hastigheten är inte konstant, men det är rörelsemängdsmomentet. Det gäller generellt vid centralkraft. Kolla i bok.

Krökningsradien måste du räkna ut. Om det inte står något i boken så får du repetera formeln från envariabelkursen.

Hmm okej, tack så mycket. Jag har dock inte gått igenom vad krökningsradiens formel är. Kollade upp det, är det denna?

Ja, tex.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, tex.

Men du en snabb fråga bara. Är inte a=b för högerledet i den eliptiska banan = 1... alltså är inte radien 1? och därmed a=b?

Nej, det är den generella formeln för en ellips med halvaxlarna a och b.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, det är den generella formeln för en ellips med halvaxlarna a och b.

Ah okej tack...

Om du använder formeln så får du att krökningsradien är a²/b. Använd y = bsqrt(1-x²/a²). Utvärdera R då x = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Om du använder formeln så får du att krökningsradien är a²/b. Använd y = bsqrt(1-x²/a²). Utvärdera R då x = 0.

Ok jag känner mig lost. Jag förstår inte varför vA*a=vB*b och jag förstår inte varför krökningsradien inte är b eftersom sätter vi in x=0 i elliptiska ekvationen så får vi att y=+-b och vi vill ha +b så avståndet från O till B är väl ändå b? Sen stoppar vi bara in vad du fick för krökningsradien och vad vi fick när vi löste ut vB och då får vi svaret. Vill inte låta kaxig eller uppkäftig men det är så jag tänker. Det kanske är att krökningsradien är något helt annat?

Det gäller generellt att rörelsemängdsmomentet bevaras när du har en centralkraft - dvs kraften är riktad mot eller i från en given fix punkt. Här är linspänningen alltid riktad mot origo O. Rörelsemängdsmomentet i A är mV_Aa och i B är det mV_Bb. Eftersom det bevaras så måste vi ha att V_Aa = V_Bb.

Krökningsradien är inte b, även om man kanske kunde tro det - men om du tänker efter lite så inser du att den omöjligen kan vara b. Du får helt enkelt använda din formel för krökningsradien R och räkna ut vad den faktiskt blir.

Damn det var smart tänkt att integrera $\frac{d\mathit{L}}{dt}=0$, för att få fram rörelsemängdsmomentet (angular momentum):

L=konstant

Okej men i.a.f från förut. Du löste ut y från eliptiska ekvationen. 

Sen så antar jag då att vi vill ha både första och andra derivatan av y... men m.a.p vadå? Tid eller x? Vi kör m.a.p x eftersom du sa att detta introducerades i envariabeln och då tas inte sådant till hänsyn. Yes och då blir formeln för krökningsradien:

$R=\frac{{(a^2-x^2)}^{3/2}}{ab}$

Och du satte in x=0, då får vi

$R=\frac{a^3}{ab}=\frac{a^2}{b}$

Där har vi krökningsradien... hmm okej så jäkla udda/intressant. Har en fråga dock? Kommer x alltid att ingå i slut formeln för krökningsradien? Jag vet inte ens hur det blir om det är en vanlig cirkel.

Vi använder oss nu av lagen för konservation av rörelsemängd och då får vi till slut:

v_B =$\frac{v_{a}a}{b}$

Den här hastigheten (ortogonal mot kraften T_B, eftersom T varierar) använder vi i formeln för centripetelkraften:

T_B=m$\frac{v_B^2}{R}$=$m\frac{{\displaystyle \frac{v_a^2{a}^2}{b^2}}}{{\displaystyle \frac{a^2}{b}}}=m\frac{v_a^2}{b}$

BOOM! Där har vi svaret. Kruxet ligger i att veta att radien INTE är b... men detta kan jag bara lita dig på och en formel... sånt här vill jag se med egna ögon för att veta att det faktiskt stämmer. För du sa att det omöjligen skulle kunna vara b. Jag har två skäl till varför det faktiskt skulle kunna vara b.

1. bilden ser ut att visa en vanlig cirkel.

2. Högerledet=1 i eliptiska ekvationen

VÄNTA! Nej. Det MÅSTE (OCH BEROR ENDAST) på att kraften ändras. Hade kraften T varit konstant hade vi fått en konstant cirkelrörelse bana. OMG! Det måste vara den enda anledningen (och kanske något med att friktionen är nonexistent eller i.a.f homogen överallt så den saktar in lika mycket om den hade existerat). 

[[Annat tänk]]

Om vi kollar på våra planeter så varierar dragkraften och därför är deras banor eliptiska. Men vad är det på grund av? Varför ska det inte vara cirkulärt och varför är de eliptiska på just det sättet? Om vi tänker enklare, jag tänker att om det bara fanns solen och jorden så måste det väl ändå vara en perfekt cirkulär bana? Eller kanske inte, magman inuti jorden rör på sig och då ändrar masscentrum...... Eller så dras jorden bara in mot solen på något vänster (så till slut hade de kolliderat). Men varför hade den inte dragits in lika mycket i så fall åt alla håll?

Det kanske blir klarare om man ritar in krökningscirklar. Här är a = 2 och b = 1.

PATENTERAMERA skrev:

Det kanske blir klarare om man ritar in krökningscirklar. Här är a = 2 och b = 1.

Jaha det är så krökningscirklarna ser ut till den röda ellipsen. Du bara en fråga hur vet du att exakt dessa cirklar approximerar/ger bäst svar? Jag kan ha, vad jag känner, as många cirklar som passar i olika storlekar. Det är min sista fundering sen så klarmarkerar jag denna tråden lol.

Börja med en cirkel. Vi kan tänka oss krökningen som hur mycket en tangent till cirkeln vrider sig per längdenhet. K = $\left|\frac{d\theta }{ds}\right|$. För en cirkel är det enkelt. Tangenten vrider sig $2\mathrm{\pi }$ på ett varv som har längden $2\mathrm{\pi R}$. Krökningen blir 1/R.

Tänk dig nu en mera godtycklig kurva $\overrightarrow{r}\left(s\right)$ parametriserad med båglängden s.

${\overrightarrow{e}}_s\equiv \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}$ är en normerad tangent till kurvan.

Eftersom ${\overrightarrow{e}}_s$ är normerad så är $\frac{d{\overrightarrow{e}}_s}{ds}$ ortogonal mot ${\overrightarrow{e}}_s$.

 ${\overrightarrow{e}}_n\equiv \frac{d{\overrightarrow{e}}_s}{ds}/\left|\frac{d{\overrightarrow{e}}_s}{ds}\right|$

$\kappa \equiv \left|\frac{d{\overrightarrow{e}}_s}{ds}\right|$

$\frac{d{\overrightarrow{e}}_s}{ds}=\kappa {\overrightarrow{e}}_n$.

$$\begin{gathered} \left|\sin ∆\theta \right|=\left|{\overrightarrow{e}}_s\left(s\right)\times {\overrightarrow{e}}_s\left(s+∆s\right)\right|=\left|{\overrightarrow{e}}_s\left(s\right)\times \left({\overrightarrow{e}}_s\left(s\right)+\kappa {\overrightarrow{e}}_n\left(s\right)∆s+O\left(∆s^2\right)\right)\right|= \\ \left|\kappa {\overrightarrow{e}}_s\left(s\right)\times {\overrightarrow{e}}_n\left(s\right)∆s+O\left(∆s^2\right)\right| \end{gathered}$$

$\left|\frac{\sin ∆\theta }{∆\theta }·\frac{∆\theta }{∆s}\right|=\left|\kappa {\overrightarrow{e}}_s\left(s\right)\times {\overrightarrow{e}}_n\left(s\right)+O\left(∆s\right)\right|$

Låt $∆s\to 0$.

$\left|\frac{d\theta }{ds}\right|=\kappa \left|{\overrightarrow{e}}_s\left(s\right)\times {\overrightarrow{e}}_n\left(s\right)\right|=\kappa$.

Dvs momentana krökningen hos kurvan i en viss punkt är den samma som hos en cirkel med radien $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\kappa $}\right.$.