Mekanik 1 - Dynamik | Rörelsemängdsmoment

Jag förstår inte...

Rörelsemängdsmomentet för en kula blir $m{r}^2\omega$.

Nämen det är två saker jag inte fattar i den figuren:

1. Hur kom du fram till att hastighetsvektorn blev det?

2. Hur utförde du kryssprodukt utan i j k tabellen?

För ett roterande koordinatsystem gäller att $\vec{v}=\vec{\omega}\times \mathbf{r}$

Vektorn $\vec{\omega}$ pekar rakt upp mot oss från pappret, utmed z-axeln. Man kan också skriva den som $\vec{\omega}=\omega\hat{z}$

$\mathbf{r}$ kan också skrivas som $r\hat{r}$ Då blir $\vec{v}=\vec{w}\times \mathbf{r}=(\omega \hat{z})\times (r\hat{r})=r\omega (\hat{z}\times \hat{r})=r\omega \hat{\theta}$.

Vissa kryssprodukter är bra att kunna utantill, för basvektorer i rätt ordning (enligt uppräkningsordningen$(\hat{r}\hat{\theta}\hat{z})$ gäller:

$\hat{r}\times \hat{\theta}=\hat{z}$

$\hat{z}\times \hat{r}=\hat{\theta}$

$\hat{\theta}\times \hat{z}=\hat{r}$

I omvänd ordning byter produkten tecken.

Slutligen är det bra att kunna taxiregeln (efter engelskans CAB)

$a\times(b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)$

Notera taximönstret "bac-cab"  

Okej tack så mycket, jätte bra förklarat och illustrerat. Jag fattar nu i.a.f uppräkningsordingen och CAB regeln men det ovan...

Okej vänta den pekar utmed z-axeln så vi använder den ena högerhandsregeln (den för magnetism) för att få vridmomentets riktning som då är moturs okej då förstår jag det. Sen så får vi att $(\hat{z}\times \hat{r})=\hat{\theta }$... vilket känns så udda... AHhh vänta vi har egentligen två hastigheter... den ena är vinkelhastigheten som är oberoende av var vi är på denna radien och sen så har vi hastigheten v som är beroende på var vi är på längden och då är den, specifikt just där vid r, hastighetsvektorn. Dessutom är $\hat{\theta }$ en bas precis som $\hat{r}$ så vi har övergått till polära koordinater...

Okej låter det rätt tolkat eller låter det mer som "njaaaa... inte riktigt rätt" lol

Jag tycker det låter rätt :)

Så en övningsuppgift

$(2,1,0)\ \times (1,0,0)=(2\hat{x}+\hat{y})\times (\hat{x})= 2(\hat{x}\times \hat{x})+\hat{y}\times \hat{x}=-\hat{z}=(0,0,-1)$

Utan Sarrus regel eller något!

D4NIEL skrev:

Jag tycker det låter rätt :)

Så en övningsuppgift

$(2,1,0)\ \times (1,0,0)=(2\hat{x}+\hat{y})\times (\hat{x})= 2(\hat{x}\times \hat{x})+\hat{y}\times \hat{x}=-\hat{z}=(0,0,-1)$

Utan Sarrus regel eller något!

ahh det make:ar sense

du multiplicerade med enskilde term (precis som vid vanlig multiplikation), insåg att x gånger x blir två parallella baser och därmed 0 och sen så följer man den uppräkningsregeln x,y,z och om den på något sätt inte är i den ordningen när man utför kryssprodukt (oavsett var man räknar från) så sätter man minus tecken på vad som kommer sen.

Det är som att det sitter en väg/portal som sådan:

|x,y,z| och om vi puttar på x,y,z så funkar kryssprodukt som vanligt

|z,x,y| = z $\times$x = y

Detta borde gå att illustrera med koordinatsystem. Jag kommer ihåg när våran linjär algebra lärare försökte visa oss hur det gällde och OM det gick att byta position på de så gällde det (och då skulle man typ fippla något med fingrarna för att få till det)... asså idk det kändes as konstigt så som det förklarades med koordinatsystemet.

Ja, och det finns lite olika regler. På gymnasiet får man ofta lära sig någon form av "högerhandsregel", särskilt i fysiken.

När man vrider $\hat{x}$ mot $\hat{y}$ eller mer allmänt vrider den första vektorn mot den andra vektorn moturs pekar produkten rakt upp (som $\hat{z}$ enligt bilden).

Vrider vi istället $\hat{y}$ mot $\hat{x}$, dvs $\hat{y}\times \hat{x}$ medurs får vi $-\hat{z}$

Exakt det här, när man vrider... precis det

Edit: Jag har märkt att inom mekaniken och linjär algebra så innebär väldigt ofta en vridning moturs den positiva riktningen. Det känns konstigt eftersom klockor (i.a.f fysiska, gammaldags eller konventionella) vrider medurs... Något som man ser typ varje dag. 

Edit 2: Men det är konstigt fortfarande. Detta går väl inte att göra med mina fingrar eller får mina fingrar nya beteckningar? Om mina fingrar är som på bilden, jag vrider min hand moturs, nu så pekar y mot andra hållet (alltså -x) och då får vi en ny bas/koordinatsystem?

Jag vet ju inte riktigt vad du gör eller hur du roterar, det finns många högerregler. Men det är alltså viktigt att du behåller "uppräkningsordningen" så att inte y hamnar framför x utan att de ligger i ordning. 

Till exempel:

Den här kanske hjälper dig mer :)

Aa okej nej jag förstår nu och det är väldigt likt den där väggen eller om man har en foten till en tripod. Putta x mot y kommer göra att y tar nästa tillgängliga plats (z:s plats) och då tar z nästa plats (x:s föredetta plats). Jag tror det gäller vid högerhandsregeln, väggen och uppräkningsregeln... eller något i de tankebanorna. Okej nämen jag förstår nu rotationen...

Då är detta/dessa fortfarande en HON(Högerorienterad)-bas? Jag tror: Ja

ochhh... måste de alltid vara vinkelräta? 

För att vara en ONH-bas ska basvektorerna uppfylla de tre bokstäverna:

• O, som i orto- eller ortogonalt (vinkelräta basvektorer)
• N, som i normerat (basvektorerna har längden 1)
• H, som i högersystem, dvs om basen anges i ordning xyz, ska determinanten $\det (x,y,z)>0$ för den orienteringen (följa högerregeln)

ONH står alltså för OrtoNormerat Högersystem.

Ahh det(x,y,z) = volymen av x,y,z i det högra ortonormerade systemet är större än 0 (ty högersystem). Alltså hade väl determinanten varit negativ om det var vänsterorienterat (en av baserna pekar i motsatt riktning)?

Sykey skrev:

Ahh det(x,y,z) = volymen av x,y,z i det högra ortonormerade systemet är större än 0 (ty högersystem). Alltså hade väl determinanten varit negativ om det var vänsterorienterat (en av baserna pekar i motsatt riktning)?

Ja just det :) Så om du vill slippa definiera om kryssprodukter och integralsatser är det enklast att använda ett högerorienterat system då det går, gärna ortonormerat också.

D4NIEL skrev:

Sykey skrev:

Ahh det(x,y,z) = volymen av x,y,z i det högra ortonormerade systemet är större än 0 (ty högersystem). Alltså hade väl determinanten varit negativ om det var vänsterorienterat (en av baserna pekar i motsatt riktning)?

Ja just det :) Så om du vill slippa definiera om kryssprodukter och integralsatser är det enklast att använda ett högerorienterat system då det går, gärna ortonormerat också.

Ahh uppfattat. Tack så mycket!