Mekanik / Derivera fram acceleration av hastighets funktion

Hej

Håller på med en mekanik uppgift och har fastnat på en del av lösningen.

Jag vill derivera fram accelerationen $\overset{\cdot \cdot}{x}$ från funktionen:

$\overset{\cdot}{x} = - v_{0} * \frac{y}{x}$

Både y och x varierar beroende på tiden.

Jag tänker att eftersom att det är två variabler som beror av tiden så måste man använda partiell derivata på något sätt för att få fram accelerationen.

$f (x, y) = \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial (- v_{0} * \frac{y}{x})}{\partial t} + \frac{\partial (- v_{0} * \frac{y}{x})}{\partial t}$

vilket jag då får till

$\overset{\cdot \cdot}{x} = \frac{- v_{0} * \overset{\cdot}{y}}{x} + \frac{v_{0} * y}{x^{2}}$

Enligt facit så är rätt svar:

$\overset{\cdot \cdot}{x} = \frac{- v_{0} * \overset{\cdot}{y}}{x} + \frac{v_{0} * y}{x^{2}} * \overset{\cdot}{x}$

vilket jag då inte förstår hur $\overset{\cdot}{x}$ kom in i formeln.

Är rätt svag på derivering / integrering så är förmodligen där problemet ligger och har ingen aning vad jag ska läsa på om för att kunna lösa detta problem.

$\frac{d f (x, y)}{d t} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f (x, y))}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}$ .

Dvs kedjeregeln.

Tackar!

Jag tycker det är svårt att förstå när man ska använda ex. kedjeregeln. I alla böcker som handlar om enbart derivering så säger de ju åt en när man ska använda diverse metoder. Men sen när liknande uppgifter som denna kommer upp så har jag problem att komma fram till vad jag ska tillämpa för metod.

Nu med facit i handen så är det ju logiskt att tänka att vi vill derivera funktionen med avseende på tiden och att variablerna x och y beror av tiden, x(t) och y(t) och där av behöver använda kedjeregeln.

Har du något tips till hur jag kan tänka för att komma fram till när jag behöver använda kedjeregeln?

Kedjeregeln använder du när du har en sammansatt funktion.

En sammansatt funktion är en funktion av en funktion, dvs när man hittar en funktion inuti en annan funktion. Ibland pratar man om en yttre- och en inre funktion.

Exempel

$f(u)=f(u(x))$

Nu har vi en funktion som beror av $u$ , men $u$ är i sin tur en funktion av $x$ . Vill vi derivera $f$ med avseende på x måste vi använda kedjeregeln.

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}$

Här har vi multiplicerat den "yttre" funktionens derivata med den "inre" funktionens derivata enligt kedjeregeln.

Svara

Visa senaste svar