Mekanik, dynamik. Beräkna farten som bollen slår i marken med.

Ellinor skrev:

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift där det gäller att beräkna farten v_mark som en boll slår i marken med, och skulle behöva hjälp.

Du har att farten blir större än utgångshastigheten $v_0$. Det kan inte stämma. Luftmotståndet gör att bollen förlorar energi.

Hej! Oj, jag förstår. Det har du ju rätt i. Tror du att du skulle kunna ge något råd på hur man kan tänka för att närma sig det rätta svaret? Tack!!

Ellinor skrev:

Hej! Oj, jag förstår. Det har du ju rätt i. Tror du att du skulle kunna ge något råd på hur man kan tänka för att närma sig det rätta svaret? Tack!!

Inte direkt, men det skulle kunna vara ett teckenfel någonstans.

Formeln för höjden blir också mindre än vad man får ur $h = \dfrac{v_0^2}{2g}$.

Tack, jag ska kolla efter! 
Jag tror det beror på att accelerationen ej är konstant?

Ellinor skrev:

Jag tror det beror på att accelerationen ej är konstant?

Men i alla fall alltid mindre stor än g.

Lyckas ej hitta felet...prövade att göra på ett litet annat sätt som jag kom på och fick ett annat uttryck med rottecken men det var inte heller rätt.

När bollen är på väg ner så ökar accelerationen (dess y-komponent) hela tiden. Först är den -g men när v² ökar så närmar sig accelerationen 0 då hastigheten asymptotiskt närmar sig gränshastigheten v_limit som uppfyller (v_limit)² = g/k. Dvs vid den hastighet då luftmotstånd och gravitation skulle ta ut varandra och accelerationen bli noll.

Vi har således

${\int }_0^{Vmark}\frac{vdv}{a}={\int }_{h_{max}}^{0}dy=-h_{max}$.

${\int }_0^{Vmark}\frac{vdv}{-g+k{v}^2}=\frac{1}{2k}{\left[\ln \left|-g+k{v}^2\right|\right]}_0^{Vmark}=\frac{\ln \left(1-{\displaystyle \frac{k}{g}}{\left(Vmark\right)}^2\right)}{2k}=\frac{\ln \left(1-{\left({\displaystyle \frac{Vmark}{v_{limit}}}\right)}^2\right)}{2k}=-h_{max}$.

Nu kommer du vidare själv tror jag.

Jag förstår.  Stort tack för svar. Det var faktiskt nästan mitt andra försök, fast då fick jag ln(-1+(k/g)*(v_mark)^2)/2k =-h_max 

Hur gör du för att få ln(1-(k/g)*(v_mark)^2?)/2k? 
Kan man ersätta v_limit med g/k för att lösa ut v_mark? Eller går det inte eftersom hastigheten aldrig faktiskt antar det värdet?

Accelerationen = a = $\ddot{y}$ = -g + kv² ligger mellan -g och noll. Från början så är den -g men när v närmar sig v_limit mer och mer så går a asymptotiskt mot noll. a är därför negativ, så att |a| = -a.

ln|-g + kv²| - ln|-g| = ln(g - kv²) - lng = ln(1 - (k/g)v²).

Tack så mycket för hjälpen! Nu blev det rätt.

Jag skulle bara vilja ställa en sista fråga: jag har läst att en acceleration är negativ om den gör så att ett objekts hastighet minskar och positiv om den gör så att ett objekts hastighet ökar. Men bollens hastighet minskar väl inte, den forsätter väl att öka till dess att den når gränshastigheten? Så hur kan accelerationen vara negativ?

Acceleration och hastighet är båda vektorer i 3D och det finns egentligen inga positiva eller negativa vektorer. Därför måste man vara försiktig så att man vet exakt vad man pratar om.

När jag skriver acceleration så menar jag (som jag tydligt säger) accelerationens y-komponent ($\ddot{y}$) relativt det koordinatsystem som illustreras i problemet. $\ddot{y}$ är ett reellt tal som kan vara positivt eller negativt - i detta fall negativt. Accelerationen är riktad nedåt och y-axeln uppåt, därför blir $\ddot{y}$ negativ.

Ibland när man talar om acceleration så menar man dess belopp. Beloppet av en vektor är dock aldrig negativt.

Ibland talar man om retardation då accelerationen är sådan att farten (hastighetens belopp) minskar. Vilket sker om skalärprodukten (dot product) mellan acceleration och hastighet är negativ.

Således, om man säger att accelerationen är negativ så måste man ha klart för sig precis vad man menar med detta för att inte hamna i galen tunna.

Tack så mycket för hjälpen!

Ellinor skrev:

Tack så mycket för hjälpen!

Tack själv för trevligt problem. Fick tänka lite själv på detta.