Mekanik fjäder

Den homogena delen av diff. ekvationen, dvs $\ddot{x}+\frac{k}{5m}x=0$, har den karaktäristiska ekvationen

$r^2+\frac{k}{5m}=0$

Det kan jämföras med en den harmoniska oscillatorn($\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$) som har den karaktäristiska ekvationen

$r^2+\omega^2=0$ med vinkelfrekvensen $\omega=\sqrt{k/m}$.

Tricket är alltså att skriva om ekvationen på en form så att andraderivatan har koefficienten 1. Ungefär som när man skriver om en andragradsekvation på normalform ($x^2+px+q=0$) innan man kan använda pq-formeln. Med rätt uppställning kan du jämföra ekvationen med den harmoniska oscillatorn och då ramlar $\omega_n$ ut "automatiskt".

(Sen kan man ju fråga sig hur de fick $\frac{3}{2}mg$ i högerledet alltså såväl räkne- som dimensionsfel, det borde bli $\frac{3g}{10}$ men det är ju mindre viktigt).

Okej, jag förstår! Så det räcker att en kollar på den homogena delen av differentialekvationen? 

Ja, åtminstone i det här fallet med en så enkel differentialekvation. I mer allmänna fall får man Taylorutveckla potentialen runt en jämviktspunkt så att man får något som liknar harmonisk svängning för små avvikelser. Som mellansteg kan man också tänka sig att ni studerat dämpad- och driven harmonisk svängning och känner till ekvationerna för lite mer komplicerade fall.

Tack för all hjälp!