4 svar
59 visningar
Aorta är nöjd med hjälpen
Aorta 153
Postad: 28 mar 19:53

Mekanik fjäder

Hej! Jag förstår inte ett av de sista stegen i denna uppgiften. Varför plockar de ut vinkelhastigheten där de gör det? Jag tänker att en skulle kunna dela så att det blev 2k/15m istället, så det känns lite som vilda västern. 

D4NIEL Online 2505
Postad: 28 mar 22:57 Redigerad: 29 mar 00:14

Den homogena delen av diff. ekvationen, dvs x+k5mx=0\ddot{x}+\frac{k}{5m}x=0, har den karaktäristiska ekvationen

r2+k5m=0r^2+\frac{k}{5m}=0

Det kan jämföras med en den harmoniska oscillatorn(x+kmx=0\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0) som har den karaktäristiska ekvationen

r2+ω2=0r^2+\omega^2=0 med vinkelfrekvensen ω=k/m\omega=\sqrt{k/m}.

Tricket är alltså att skriva om ekvationen på en form så att andraderivatan har koefficienten 1. Ungefär som när man skriver om en andragradsekvation på normalform (x2+px+q=0x^2+px+q=0) innan man kan använda pq-formeln. Med rätt uppställning kan du jämföra ekvationen med den harmoniska oscillatorn och då ramlar ωn\omega_n ut "automatiskt".

(Sen kan man ju fråga sig hur de fick 32mg\frac{3}{2}mg i högerledet alltså såväl räkne- som dimensionsfel, det borde bli 3g10\frac{3g}{10} men det är ju mindre viktigt).

Aorta 153
Postad: 29 mar 08:50

Okej, jag förstår! Så det räcker att en kollar på den homogena delen av differentialekvationen? 

D4NIEL Online 2505
Postad: 29 mar 13:01 Redigerad: 29 mar 13:08

Ja, åtminstone i det här fallet med en så enkel differentialekvation. I mer allmänna fall får man Taylorutveckla potentialen runt en jämviktspunkt så att man får något som liknar harmonisk svängning för små avvikelser. Som mellansteg kan man också tänka sig att ni studerat dämpad- och driven harmonisk svängning och känner till ekvationerna för lite mer komplicerade fall.

Aorta 153
Postad: 29 mar 14:10

Tack för all hjälp!

Svara Avbryt
Close