Min/max avstånd till origo

Funktionen $f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2$ ger, som du säger, avståndet från origo till en punkt $(x,y,z)$ och det är precis denna funktion som du vill maximera resp. minimera på ytan $x^4 + y^4 + z^4 = 3$. Satsen om extremvärden säger att en kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt område kommer anta att maximum och ett minimum på detta område. Eftersom att $f$ är kontinuerlig överallt och ytan $x^4 + y^4 + z^4 = 3$ utgör ett kompakt område så följer det att $f$ kommer anta ett maximumvärde och ett minimumvärde på ytan $x^4 + y^4 + z^4 = 3$.

Ja, det är för att det är avståndet - man vill ju ta reda på avståndet till origo.

Satsen om extremvärden borde vara ungefär "Om en funktion är kontinuerlig och begränsad så har den ett största och ett minsta värde".

Smaragdalena skrev:

Satsen om extremvärden borde vara ungefär "Om en funktion är kontinuerlig och begränsad så har den ett största och ett minsta värde".

Yes, förutsatt att definitionsmängden är begränsad till ett kompakt område. Funktionen $f(x)=x$ definierad på det öppna intervallet $(0,1)$ är kontinuerlig och begränsad men antar inget maximum eller minimum. Det är därför de i lösningen gör sig besväret att visa att ytan i uppgiften är kompakt (d.v.s. sluten och begränsad).

Freewheeling skrev:

Funktionen $f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2$ ger, som du säger, avståndet från origo till en punkt $(x,y,z)$ och det är precis denna funktion som du vill maximera resp. minimera på ytan $x^4 + y^4 + z^4 = 3$. Satsen om extremvärden säger att en kontinuerlig funktion definierad på ett kompakt område kommer anta att maximum och ett minimum på detta område. Eftersom att $f$ är kontinuerlig överallt och ytan $x^4 + y^4 + z^4 = 3$ utgör ett kompakt område så följer det att $f$ kommer anta ett maximumvärde och ett minimumvärde på ytan $x^4 + y^4 + z^4 = 3$.

Åh jag förstår, tack så mycket! Kan man se det som en form av bivillkor? Misstänkte att det var den satsen men blev osäker, tack snälla! 

Ja, det är absolut en form av bivillkor. För att ta reda på maximum/minimum kan du använda dig av Lagranges multiplikatormetod och hitta extrempunkterna till funktionen $f$, med bivillkoret att $x^4 + y^4 + z^4 - 3 = 0$.

Freewheeling skrev:

Ja, det är absolut en form av bivillkor. För att ta reda på maximum/minimum kan du använda dig av Lagranges multiplikatormetod, där bivillkoret är $x^4 + y^4 + z^4 - 3 = 0$.

Perfekt, då förstår jag! Tack igen!