Minimera kostnad - Plåtåtgången
Hej, jag har försökt lösa denna uppgift men får fel svar. Svaret ska bli r=0,43 och h=1,72. Men jag får fram r=0,54 och h=1.08
Såhär har jag gjort:
Vad har jag gjort fel?
Oj, jag kan inte läsa dina små bokstäver. Så här gör jag, så kan vi jämföra sedan.
(1) Att de ska tillverka 23 miljoner burkar påverkar inte lösningen. De vill bara att det ska framgå att det är många.
(2) Eftersom volymmåttet är liter, så är det enklast att mäta i dm eftersom en kubikdm är en liter.
(3) Antag att höjden är h och radien är r.
(4) Volymen är V = pi r2 h.
(5) Mantelarean är 2 pi rh och bottenplattornas sammanlagda
area är 2 pi r2
(6) Om 1 dm2 kostar 1 prisenhet så kostar en burk P = 2 pi rh + 4 pi r2.
V = 1 ger att h = 1 / (pi r2) enligt (4). Sätt in det h-värdet i P:
P(r) = 2pi r / (pi r2) + 4pi r2
= 2/r + 4pi r2
P’(r) = –2/r2 + 8pi r
= (–2 + 8 pi r3 ) / r2
= 8pi [ r3 – 1/(4pi)] / r2
r > 0 så det enda nollstället för derivatan är r = 1/ (4 pi)(1/3) ≈ 0,43
Man ser lätt att detta måste vara minimum. Sätt in detta värde för att få h.
Hej, tack så mycket för ditt svar, förstår dock inte steg 6. Vart kommer 4 ifrån och får du fram hela funktionen genom att Addera lock, botten och mantelarea?
Nej, jag adderar inte lock botten och mantelarea.
Varje kvadratdecimeter kostar 1 en prisenhet. Rättelse: Varje dm2 mantelarea kostar 1 prisenhet.
Mantelarean är 2 pi r2 h kvadratdecimeter och kostar alltså 2 pi r2 h prisenh.
Arean av lock och botten är 2 pi r2 och kostar alltså 4 pi r2 prisenh, eftersom lock och botten var dubbelt så dyra per dm2.
Totalt 2pi rh + 4pi r2 prisenh.
(PS Jag gjorde ett tillägg till limpfrågan)
Jaha, okej, jag tror att jag förstår, tack för ditt svar!
Är inte mantelarea för cylinder 2 pi rh och inte r^2?
Och varför skriver man priset i variabler? Det gör mig lite förvirrad när de kostar pi r h...
”Mantelarean är 2 pi r2 h kvadratdecimeter och kostar alltså 2 pi r2 h prisenh.”
Fel av mig. Ska vara 2 pi rh
Priset är en variabel som beror av måtten på burken. Om du ändrar måtten blir det ett annat pris.
För uppgiften spelar det ingen roll om en dm2 mantelplåt kostar 3 öre eller 5 kronor. Därför satte jag priset till 1, så får 3 öre eller 5kr vara min prisenhet. Många skulle satt in en konstant, c kr/dm2, men det var för att slippa dras med en ointressant symbol genom räkningarna.
Det är inget konstigt att priset är en variabel. Tänk dig en triangel som kostar 7 kr per kvadratmeter. Om basen är b och höjden h, så kostar den 7bh/2 kr.