Minimialpolynom q_L delar polynomet

För din första fråga: $ev_A$ är en funktion från ringen av polynom $K[x]$ till ringen av kvadratiska $n\times n$-matriser med koefficienter i $K$ alltså, $M_{n\times n}(K)$.

Konkret tar $ev_A$ ett polynom, t.ex. $p(x)=x^2+2x+3$ (om vi tänker att $K=\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$) och byter ut $x$ mot matrisen $A$. Så t.ex. är

$ev_A(p)=p(A)=A^2+2A+3I$.

Notera att talet 3 i polynomet blivit till $3I$, alltså 3 gånger identitetsmatrisen.

För din andra fråga: låt $A$ vara matrisen som motsvarar operatorn $L$. Låt $p(x)=(x+1)^2(x-1)^2$. Du vill visa att 

$p(A)=0$, dvs att

$(A+I)^2(A-I)^2=0$.

Om $p(A)=0$ så gäller nämligen enligt definitionen av minimala polynom att $q_L$, det minimala polynomet för $L$, måste dela $p(x)$. Det följer från bilden: alla polynom $p$ sådana att $p(A)=0$, vilket är ekvivalent med att $p\in\ker ev_A$, är multiplar av det minimala polynomet $q_A$.

Gustor skrev:

För din första fråga: $ev_A$ är en funktion från ringen av polynom $K[x]$ till ringen av kvadratiska $n\times n$-matriser med koefficienter i $K$ alltså, $M_{n\times n}(K)$.

Konkret tar $ev_A$ ett polynom, t.ex. $p(x)=x^2+2x+3$ (om vi tänker att $K=\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$) och byter ut $x$ mot matrisen $A$. Så t.ex. är

$ev_A(p)=p(A)=A^2+2A+3I$.

Notera att talet 3 i polynomet blivit till $3I$, alltså 3 gånger identitetsmatrisen.

 

För din andra fråga: låt $A$ vara matrisen som motsvarar operatorn $L$. Låt $p(x)=(x+1)^2(x-1)^2$. Du vill visa att 

$p(A)=0$, dvs att

$(A+I)^2(A-I)^2=0$.

Om $p(A)=0$ så gäller nämligen enligt definitionen av minimala polynom att $q_L$, det minimala polynomet för $L$, måste dela $p(x)$. Det följer från bilden: alla polynom $p$ sådana att $p(A)=0$, vilket är ekvivalent med att $p\in\ker ev_A$, är multiplar av det minimala polynomet $q_A$.

Det är väldigt mycket saker på en gång här. Jag vet inte var jag ska ens börja. Det är många notationer osv. Men det kanske klarnar när jag kommit in i tankesättet med denna uppgift.

Jag ska alltså visa att q_L är delbart med (x-1)²(x+1)² dvs q_L|(x-1)²(x+1)²

Det kan vara bra att sätta sig in i teorin och sedan försöka själv först. 

Gustor skrev:

Det kan vara bra att sätta sig in i teorin och sedan försöka själv först. 

Teorin är ju det jag skrev ovan i #1. Men det hade najs att få hjälp på traven med hur man kommer vidare här.

Jag fick intrycket att mycket jag skrev verkade främmande för dig. 

Gustor skrev:

Jag fick intrycket att mycket jag skrev verkade främmande för dig. 

Det var många nya saker men jag får lära mig. Det är därför jag ställde frågor här. Hur som helst det vi ska visa är alltså #3

Jag tror det blir lättare om man förstår just vad man gör när man tar ett polynom och byter ut x:en mot matriser. Då får man ett uttryck som kommer bli till en ny matris.

Denna sorts process att omvandla polynom till matriser är likt hur vi kan omvandla polynom till tal genom att byta ut x:en mot tal och beräkna. Fast vi gör det med matriser istället. 

Det är precis vad funktionen ev_A gör--den byter ut x:en mot matrisen A.

Gustor skrev:

Jag tror det blir lättare om man förstår just vad man gör när man tar ett polynom och byter ut x:en mot matriser. Då får man ett uttryck som kommer bli till en ny matris.

Denna sorts process att omvandla polynom till matriser är likt hur vi kan omvandla polynom till tal genom att byta ut x:en mot tal och beräkna. Fast vi gör det med matriser istället. 

Det är precis vad funktionen ev_A gör--den byter ut x:en mot matrisen A.

Så e_vA tar alltså alla polynom från R eller C kropp och omvandlar dem till koefficienter av nxn matris? Det låter som att e_vA är en linjär avbildning.

$\operatorname{ev}_A$ är en linjär avbildning. "ev" ska stå för evaluation och innebär att man evaluerar polynomet "vid" matrisen $A$.