4 svar
38 visningar
HaCurry 221
Postad: 18 okt 2020

Minsta och största värde med Bolzano Weierstrass

Hej, jag har problem med att förstå beviset till följande sats:

De använder lemmat att det finns en talföljd s.a f(x_k) -> M, det hänger jag med på. Men när de använder Bolzano-Weierstrass kopplar jag inte längre. De säger att (x_k) innehåller en konvergent delföljd, visst är jag med på det men att den delföljden x_k_j ska gå mot ett ξ,  där f(ξ) = M fattar jag inte. B-W säger bara att det existerar en konvergent delföljd men den säger inte vad den konvergerar mot, hur kan de vara så säkra på att talföljden x_k_j verkligen konvergerar mot f(ξ) = M?

HaCurry 221
Postad: 18 okt 2020 Redigerad: 18 okt 2020

Jag fortsätter här, jag hittade en identisk förklaring på wikipedia:

(bifogar länk eftersom kvalitén är dålig: https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem#Proving_the_theorems)

här säger dom att delföljden konvergerar mot ett d, men hur kan vi vara säkra på att det d som delföljden konvergerar mot ger att f(d) = M?

Det gemensamma tankesättet verkar vara att delföljden konvergerar mot det ("huvud-") talföljden konvergerar mot, men B-W säger ju inget om det...? 

Det är något jag verkar missa om satsen?

Albiki 4804
Postad: 18 okt 2020

Hej,

Det gäller att följden f(xkj)f(x_{k_j}) konvergerar mot samma tal f(ξ)f(\xi) som följden f(xk)f(x_k), eftersom ff är en kontinuerlig funktion. 

HaCurry 221
Postad: 18 okt 2020
Albiki skrev:

Hej,

Det gäller att följden f(xkj)f(x_{k_j}) konvergerar mot samma tal f(ξ)f(\xi) som följden f(xk)f(x_k), eftersom ff är en kontinuerlig funktion. 

Hmm, jag är osäker om jag förstår, jag vet inte om koninuiteten är det jag har problem med (kanske?), det jag inte fattar är varför du kan säga att f(xkj)f(x_{k_j}) konvergerar mot samma tal som f(xk)f(x_k). B-W säger att delföljden konvergerar men inte mot vad? Hur drar du slutsatsen att delföljden konvergerar mot ξ? Om det är på grund av kontinuitet så förstår jag inte det, kan du utveckla resonemanget?

Albiki 4804
Postad: 18 okt 2020 Redigerad: 18 okt 2020

Delföljden xkjx_{k_j} konvergerar mot något; detta något döps till ξ.\xi. Kontinuiteten ger att följden f(xkj)f(x_{k_j}) konvergerar mot f(ξ).f(\xi). Följden f(xkj)f(x_{k_j}) är en delföljd till f(xk),f(x_k), som i sin tur konvergerar mot M.M. Då måste även delföljden f(xkj)f(x_{k_j}) konvergera mot M.M.

Om Mf(ξ)M \neq f(\xi) så är ϵ|M-f(ξ)|>0\epsilon \equiv |M-f(\xi)| > 0 och

    ϵ=|M-f(ξ)||M-f(xn)|+|f(xn)-f(ξ)|<0.5ϵ+0.5ϵ\epsilon = |M-f(\xi)|\leq |M-f(x_n)|+|f(x_n)-f(\xi)|<0.5\epsilon + 0.5\epsilon om nn är tillräckligt stort;

med andra ord är ϵ<ϵ\epsilon < \epsilon vilket är omöjligt.

Svara Avbryt
Close