Möbius transformationen

Hej!

Jag behöver hjälp med denna uppgift: Hitta en möbiustransformation som transformerar en linje som går genom origo i det komplexa talplanet och som bildar vinkeln 30 grader med x-axeln till en cirkel centrerad runt origo med radien 4. Gör beräkningarna för hand.

Jag har försökt transformera punkterna (0,0) till (4,0), (1, tan30 *i) till (0, 4i) och (-1, -tan30 *i) till (-4, 0). Formeln som jag använt är F(z) =(az + b)/(cz +d) och denna ekvationen måste gälla ad-bc=1. Jag har försökt lösa uppgiften men fastnar alltid i slutet där jag får en ekvationen och 2 okända variabler. Om ni har lust får ni gärna hjälpa!

Är det inte enklare att ta fram två möbiustransformationer som berör punkterna 0, 1, ∞ och sätta dem ihop? Sådana transformationer har nämligen en standardform och man kan omedelbart ställa upp ett rationellt uttryck.

Vill man avbilda

$z_1 \mapsto 0$
$z_2 \mapsto 1$
$z_3 \mapsto \infty$

så kan man göra det m.h.a. funktionen $T_1{(z)} = \dfrac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$ (s.k. korsförhållande / cross-ratio).

Du har valt $z_1 = 0$ , $z_2 = 1+ \dfrac{i}{\sqrt{3}}$ och $z_3 = -1 - \dfrac{i}{\sqrt{3}}$ , så sätt in dessa i formeln för $T_1(z)$ .

Bilda nu $T_2{(z)} = \dfrac{(z-w_1)(w_2-w_3)}{(z-w_3)(w_2-w_1)}$ , där $w_1 = 4$ , $w_2 = 4i$ och $w_3 = -4$ . Detta är alltså en transformation som avbildar

$4 \mapsto 0$
$4i \mapsto 1$
$-4 \mapsto \infty$

Man är egentligen intresserad av inversen $T_2^{-1}$ som överför talen 0, 1 respektive ∞ till 4, 4i, respektive -4. Inversen av en möbiustransformation bestäms ganska enkelt - det blir "bara" en omkastning av koefficienterna i bråket.

Det du söker är $T{(z)} = T_2^{-1} \circ T_1 (z)$ . Kravet ad-bc = 1 kan fixas i efterhand genom att förlänga bråket med en lämplig faktor.

Om du dock inte vill pyssla med sammansättning av två grundläggande möbiustransformer och vill istället söka koefficienterna a,b,c,d i transformen $T{(z)} = \dfrac{Az+B}{Cz+D}$ direkt, så skulle jag rekommendera att du väljer enklare punkter att arbeta med:

$T(0) = 4$
$T(\sqrt{3}+i) = 4i$
$T(\infty) = -4$

I det här läget skulle jag strunta i kravet $AD-BC=1$ , utan jag skulle välja något enkelt, exempelvis $C=1$ . (Man vet redan att $C\ne 0$ för annars skulle transformationen vara affin och linjen skulle avbildas på en linje.)

När du hittat de övriga koefficienterna A, B, och D, så återstår det i förlänga bråket på ett lämpligt sätt så att man får ad-bc=1 där a,b,c,d är koefficienterna i det förlängda bråket.

Okej, det gjorde processen lättare!

Jag gjorde följande:

Jag är dock osäker hur jag gör i slutet när enbart a och d är kvar. Jag testa att använda ad-cb=1 för att lösa ut a och d men får att de kan vara både positiva och negativa. Hur hanterar jag det?

Du får välja fritt. Lösningen är inte entydigt given. (Man kan ju alltid förlänga ett bråk med -1)

Svara

Visa senaste svar