Möbiusavbildning

f(0) är b/d och det ska vara 1. Då har du att d = b. Osv.

 Ta fram uttryck för vad de olika värdena blir. Sätt in $0$ i $f(z)$ så att du får:

$f\left(0\right)=\dfrac{b}{d}$

Eftersom du vill att $f(0)=1$ vill du att:

$\dfrac{b}{d}=1$

Du kan göra på motsvarande sätt med resterande villkor.

Avbildningen $w(z)$ ges av ekvationen

    $\displaystyle\frac{(z-0)(\infty-1)}{(z-1)(\infty-0)} = \frac{(w-1)(i-1-i)}{(w-1-i)(i-1)}\iff \frac{z}{z-1} = \frac{1-w}{(w-1-i)(i-1)}.$

Förenkling ger

    $\displaystyle w(z) = 1 - (1+i) \frac{z}{1+z(i-2)}.$

Jag vet inte om det blir rätt men jag satte:

$\left(z_1,z_2,z_3\right)=\left(0,1,\infty \right)$ $\left(w_1,w_2,w_3\right)=\left(1,1+i,i\right)$

och fick då $\frac{\left(z-0\right)\left(\infty -0\right)}{\left(z-1\right)\left(\infty -1\right)}=\frac{\left(w-1\right){\displaystyle \left(i-1\right)}}{\left(w-\left(1+i\right)\right){\displaystyle \left(i-\left(1+i\right)\right)}}$ men det stämmer ju inte med $\frac{\left(z-0\right)\left(\infty -1\right)}{\left(z-1\right)\left(\infty -0\right)}=\frac{\left(w-1\right){\displaystyle \left(i-1-i\right)}}{\left(w-1-i\right){\displaystyle \left(i-1\right)}}$ 

jag vet inte riktigt var det blir fel.

Varför blandar du in en vektor med tre komponenter i det komplexa talplanet?

Har du läst på det mest självklara stället? Strax ovanför rubriken Spegelpunkter står det precis hur su skall göra i den här uppgiften.

ja i exemplet sätter dom $\frac{\left(z-z_2\right)\left(z_1-z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_1-z_2\right)}=\frac{\left(w-w_2\right){\displaystyle \left(w_1-w_3\right)}}{\left(w-w_3\right){\displaystyle \left(w_1-w_2\right)}}$

och eftersom vi har att möbiusavbildningen mappar

0 till 1

1 till 1+i

$\infty$ till i

satte jag     $$\begin{gathered} z_1=0, z_2=1, z_3=\infty \\ {w}_1=1, w_2=1+i, w_3=i \end{gathered}$$ 

men då stämmer det ändå inte.

Visa hur du har gjort steg för steg. Vi som svara här är bra på matte, men usla på tankeläsning.

Jag använde formeln $\frac{\left(z-z_2\right)\left(z_1-z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_1-z_2\right)}=\frac{\left(w-w_2\right){\displaystyle \left(w_1-w_3\right)}}{\left(w-w_3\right){\displaystyle \left(w_1-w_2\right)}}$

och satte in värdena för $z_1=0, z_2=1,z_3=\infty , w_1=1,w_2=1+i,w_3=i$

då fick jag:

$\frac{\left(z-1\right)\left(0-\infty \right)}{\left(z-\infty \right)\left(0-1\right)}=\frac{\left(w-(1+i)\right){\displaystyle \left(1-i\right)}}{\left(w-i\right){\displaystyle \left(1-\left(1+i\right)\right)}}$

Idil M skrev:

Jag använde formeln $\frac{\left(z-z_2\right)\left(z_1-z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_1-z_2\right)}=\frac{\left(w-w_2\right){\displaystyle \left(w_1-w_3\right)}}{\left(w-w_3\right){\displaystyle \left(w_1-w_2\right)}}$

och satte in värdena för $z_1=0, z_2=1,z_3=\infty , w_1=1,w_2=1+i,w_3=i$

då fick jag:

$\frac{\left(z-1\right)\left(0-\infty \right)}{\left(z-\infty \right)\left(0-1\right)}=\frac{\left(w-(1+i)\right){\displaystyle \left(1-i\right)}}{\left(w-i\right){\displaystyle \left(1-\left(1+i\right)\right)}}$

 Hur hade du tänkt hantera faktorn $z-\infty$? Är inte den alltid "lika med" $\infty$?