moduloräkning

För att börja med den näst sista, så blir det kanske lättare om man skriver resultatet av vanliga divisioner först:

$$\begin{gathered} \frac{13}{9}=1,4444... \\ \frac{4}{9}=0,4444... \end{gathered}$$

Nu syns det ganska tydligt  att 13 och 4 har samma rest när man dividerar med 9.

Man kan också säga samma sak så här:

$$\begin{gathered} \frac{13}{9}=1 rest 4 \\ \frac{4}{9}=0 rest 4 \end{gathered}$$

När det gäller negativa tal kan man tänka så här. Jag visar för division med 5 så kan du använda det på första talet:

$$\begin{gathered} \frac{14}{5}=2,8=2+0,8 \\ \frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 5}}=1,8=1+0,8 \\ \frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 5}}=0,8=0+0,8 \\ \frac{{\displaystyle -1}}{{\displaystyle 5}}=-0,2=-1+0,8 \\ \frac{{\displaystyle -6}}{{\displaystyle 5}}=-1,2=-2+0,8 \end{gathered}$$

Ser du nu att när jag minskar täljaren med 5 får jag en kvot som är "1 mindre", men hela tiden med samma rest?

Hej!

Det gäller att $a \equiv_{n} b$ precis då differensen $a-b$ är delbar med talet $n$.

• Är det sant att $4-(-1)$ är delbar med $5$?
• Är det sant att $100-0$ är delbar med $10$?
• Är det sant att $11-1$ är delbar med $3$?

Att prata om "rest" är kanske vilseledande utom i de enkla fallen som används för att introducera begreppet. Poängen med modulo är att heltalen delas in i ekvivalensklasser på det sätt som Albiki beskriver. 

Albiki skrev:

Hej!

Det gäller att $a \equiv_{n} b$ precis då differensen $a-b$ är delbar med talet $n$.

• Är det sant att $4-(-1)$ är delbar med $5$?
• Är det sant att $100-0$ är delbar med $10$?
• Är det sant att $11-1$ är delbar med $3$?

okej, jag har även läst på lite mer och tror jag hänger mer på vad detta innebär. 

a ≡_n b, innebär detta att a och b är kongruenter modulo n? alltså att a och b får samma rest när de delas med n?

om det stämmer hänger jag inte med på första talet $4{\equiv }_5-1$

då borde ju talet 4 och -1 få samma rest när man delar med 5 vilket man inte får?

eller tänker man annorlunda när det är negativa tal, att man adderar något eller hur blir det (exempelvis 5 i detta fall) ?