Moduloräkning i linjär algebra

Jag har räknat uppgiften precis som vanligt men bytt ut alla skalärer på vägen mot kongruenta nollor eller ettor på vägen d.v.s:

$det(\lambda I-A) = (\lambda -1)({\lambda }^2-1)-2(\lambda -1) = (\lambda -1)({\lambda }^2-1)$ då tvåan blir en nolla i mod2. Detta ger egenvärden 1 och -1 som bara blir egenvärdet 1 i mod 2. Eftersom egenvärdet endast är 1 måste minimalpolynomet vara någon potens av $(x-1)$ som visar sig vara ${(x-1)}^3$ då ${(A-I)}^3=0$.

När jag sedan utvecklar minimalpolynomet får jag $x^3+3x^2+3x+1$ som i mod 2 blir $x^3+x^2+x+1$.

Är detta ett ok sätt att räkna på? Det är en ganska liten del av kursen så har inte sett så många liknande uppgifter. I lösningsförslaget kommer de fram till samma svar men på ett helt annat sätt.