Modulräkning, Delbarhet och kongruenser

tibu skrev:

2^(14*14) = (fast med tre steck) 1^(14*14) (mod 7)

Detta stämmer inte.

Ty $2^{(14·14)}=2^{196}\not\equiv 1 (mod 7)$

beerger skrev:

tibu skrev:

2^(14*14) = (fast med tre steck) 1^(14*14) (mod 7)

1^(14*14) = 1*14 = 14

Detta stämmer inte.

Ty $2^{(14·14)}=2^{196}\not\equiv 1 (mod 7)$

Dessutom är $1^{(14·14)}=1 \ne 14$

Börja med att hitta $2^n$där ett av följande gäller:

$$\begin{gathered} 2^n\equiv 1 (mod\hspace{0.17em}7) \\ {2}^n\equiv -1 (mod\hspace{0.17em}7) \end{gathered}$$

Räkneregel

$$\begin{gathered} Om x_1\equiv y_1 (mod n) och Om x_2\equiv y_2 (mod n) \\ Så gäller följande \\ {x}_1{x}_2\equiv y_1{y}_2 (mod n) \end{gathered}$$

$2^3=8\equiv 1 (mod 7)$

Då är $2^{195}={\left(2^3\right)}^{65}\equiv 1^{65}\equiv 1 (mod 7)$

$och 2^{196}=2^{195}·2\equiv 1·2 =2 (mod 7)$

Således blir resten 2.

Tack!!!

Något jag tyckte underlätta för mig vid kongruensräkning är följande:

$x\equiv y (mod n) \iff \exists a\in \mathrm{\mathbb{Z}} \Rightarrow x - y =\hspace{0.17em}a·n, kan även skrivas a\left|\right(x-y)$

Vilket översätts till:

$x\equiv y (mod n)$ betyder att det finns ett $a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ så att $x- y =\hspace{0.17em}a·n$ (*)

$a\left|\right(x-y)$betyder exakt samma som *. Betyder att differensen (x - y) är delbart med a.

T.ex.

$$\begin{gathered} 30 \equiv 2 (mod 14) \iff 30 - 2 =\hspace{0.17em}28 =14·a, där a \hspace{0.17em}=2 \\ 30 \equiv -12 (mod 14) \iff 30 -(-12) = 42 = 14 ·a, där a \hspace{0.17em}= 3 \end{gathered}$$