Momentgenererande funktion för sammansatt stokastisk variabel

Hej!

Jag har att $X_k\sim Be(1/2)$, alltså Benoulli-fördelade med parameter 1/2 (oberoende).

Det gäller vidare att $N\sim Fs(1/6)$, d.v.s. First sucess  = för första gången-fördelad med parameter 1/6.

Om vi då sätter: $Y=\sum_{k=1}^N X_k$ så gäller att MGF (momentgenererande funktionen):

$\displaystyle\psi_Y(t)=\psi_N(\psi_X(t))=\frac{1/6\cdot e^{1/2+1/2\cdot e^t}}{1-5/6\cdot e^{1/2+1/2\cdot e^t}}$
Om man MacLaurin-utvecklar uttrycket ovan ska man få fram momenten för $Y$ enligt nedan:
$\displaystyle\psi_Y(t)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k!}\cdot E(Y^k)$, men det verkar ej fungera.
Nämligen ska $E(Y)=3$ så de första termerna borde bli: $1+3t+...$, men det blir något helt annat:
Vi vet nämligen att $E(Y)=E(N)\cdot E(X_1)=6\cdot \frac{1}{2}=3$.

Har jag räknat fel eller gjort någon tankevurpa?