14 svar
85 visningar
Fannywi är nöjd med hjälpen!
Fannywi 144
Postad: 10 aug 2019

Motivera varför funktionen i R^3 antar globalt min

Uppgiften är:

Motivera varför funktionen g(x,y,z) = x+y+z under bivillkoret xy+yz+zx =3, x,y,z 0

antar ett globalt minimum samt bestäm minimivärdet.

 

Stationära punkten jag hittar är (1,1,1). Följande  motivering av minimum enligt facit  är:

 

Observera att inf g(x,y,z) i området M är samma

som inf g(x,y,z) i området  K ,

där M = {(x,y,z): xy+yz+zx-3 =0, x,y,z 0} och K = M {(x,y,z): x+y+z 4}. 

Detta följer av att för alla (x,y,z) som inte är medlem i M \ K 

så gäller att g(x,y,z) > 4 vilket inte kan påverka infimum eftersom g(1,1,1) =3.

 

Jag försöker förstå vad som menas här. Som jag uppfattar det så är funktionen g större än 4 utanför området

M?  Eftersom M \ K betyder alla element i M men ej i K. 

 

Tacksam för lite hjälp!

Har du skrivit av facit rätt? Det verkar vara ett "inte" för mycket.

Fannywi 144
Postad: 10 aug 2019
Smaragdalena skrev:

Har du skrivit av facit rätt? Det verkar vara ett "inte" för mycket.

Då tycker jag att det ser ut som om din bok har fått med ett "/", d v s ett "inte"  för mycket.

Om en punkt tillhör M men inte K så vet man att funktionsvärdet i denna punkt är större än 4.

Micimacko 401
Postad: 10 aug 2019

Det jag tror de vill ha sagt är att om ett område är kompakt, alltså har ändliga gränser, så måste ett minsta värde finnas. Brukar finnas en sats om det i boken. Så de klipper bort delar av hela området där de visat att värdet är större, och då blir det kvar ett kompakt område där minsta värde finns.

Fannywi 144
Postad: 10 aug 2019
Smaragdalena skrev:

Då tycker jag att det ser ut som om din bok har fått med ett "/", d v s ett "inte"  för mycket.

Om en punkt tillhör M men inte K så vet man att funktionsvärdet i denna punkt är större än 4.

Okej så det som sägs är är g(x,y,z) = x+y+z är större än 4 då x+y+z > 4 (helt uppenbart).  Och eftersom skärningen mellan planet x+y+z  4 och bivillkoret xy+yz+zx=3, x,y,z  0

är kompakt så måste minimum antas  där? 

Fannywi 144
Postad: 10 aug 2019
Micimacko skrev:

Det jag tror de vill ha sagt är att om ett område är kompakt, alltså har ändliga gränser, så måste ett minsta värde finnas. Brukar finnas en sats om det i boken. Så de klipper bort delar av hela området där de visat att värdet är större, och då blir det kvar ett kompakt område där minsta värde finns.

Hur kan jag avgöra att området K är kompakt? Jag vet att x+y+z = 4 är ekvationen av ett plan. Och xy+yz+zx=3, x,y,z  0

ser ut, när jag använder ett verktyg för att skissera den, som en hyperboloid

Laguna Online 5394
Postad: 10 aug 2019
Micimacko skrev:

Det jag tror de vill ha sagt är att om ett område är kompakt, alltså har ändliga gränser, så måste ett minsta värde finnas. Brukar finnas en sats om det i boken. Så de klipper bort delar av hela området där de visat att värdet är större, och då blir det kvar ett kompakt område där minsta värde finns.

Ett ändligt område behöver inte vara kompakt. 

Micimacko 401
Postad: 10 aug 2019

Tänk på att det som kallas bivillkor är ditt ursprungliga område. Sen klippte du av det med planet och fick ett nytt, mindre område. Det nya området är hela det ursprungliga som ligger ”innanför” planet, men det behöver inte ligga på planet. Eftersom det är kompakt finns ett min, men vi vet inte var. Det skulle lika gärna kunna ligga vid origo.

Fannywi 144
Postad: 10 aug 2019 Redigerad: 10 aug 2019
Micimacko skrev:

Tänk på att det som kallas bivillkor är ditt ursprungliga område. Sen klippte du av det med planet och fick ett nytt, mindre område. Det nya området är hela det ursprungliga som ligger ”innanför” planet, men det behöver inte ligga på planet. Eftersom det är kompakt finns ett min, men vi vet inte var. Det skulle lika gärna kunna ligga vid origo.

Kan det inte vara så att ett ursprungligt området inte är kompakt även om man klipper av det med ett plan och kollar på det som ligger innanför planet? Eller det kanske blir automatiskt kompakt i och med att kordinataxlarna är positiva? dvs, x,y,z 0

Albiki 4130
Postad: 10 aug 2019 Redigerad: 10 aug 2019

Hej!

Definitionsmängden MM kan skrivas som unionen av två disjunkta mängder: 

    M=K(MK).M = K \cup (M\setminus K).

  • Det gäller att punkten (1,1,1)(1,1,1) ligger i mängden KK och i denna punkt är funktionsvärdet g(1,1,1)=3.g(1,1,1) = 3.
  • För punkter som ligger i mängden MKM\setminus K är funktionsvärdet alltid större än talet 44.

Om funktionen gg överhuvudtaget har ett minsta värde så måste det antas i en punkt som ligger i mängden KK; kanske är talet 33 funktionens minsta värde över mängden KK och (1,1,1)(1,1,1) en minimipunkt, kanske inte. Det behöver undersökas.

Fannywi 144
Postad: 11 aug 2019
Albiki skrev:

Hej!

Definitionsmängden MM kan skrivas som unionen av två disjunkta mängder: 

    M=K(MK).M = K \cup (M\setminus K).

  • Det gäller att punkten (1,1,1)(1,1,1) ligger i mängden KK och i denna punkt är funktionsvärdet g(1,1,1)=3.g(1,1,1) = 3.
  • För punkter som ligger i mängden MKM\setminus K är funktionsvärdet alltid större än talet 44.

Om funktionen gg överhuvudtaget har ett minsta värde så måste det antas i en punkt som ligger i mängden KK; kanske är talet 33 funktionens minsta värde över mängden KK och (1,1,1)(1,1,1) en minimipunkt, kanske inte. Det behöver undersökas.

Okej tack :) Jag undrade bara lite varför man ser att K är kompakt. Men det kanske har med att området x,y,z >=0 , x+y+z =< 4 utgör ett kompakt område? 

Jag undrade bara lite varför man ser att K är kompakt.

Vad krävs för att ett område skall vara kompakt? Uppfyller området K dessa kriterier?

Fannywi 144
Postad: 11 aug 2019 Redigerad: 11 aug 2019
Smaragdalena skrev:

Jag undrade bara lite varför man ser att K är kompakt.

Vad krävs för att ett område skall vara kompakt? Uppfyller området K dessa kriterier?

Begränsat och slutet. Och jag tänker att det är det  i K eftersom  0x4

 

Och samma för y och z?

Ja, eftersom K är både slutet och begränsat, så är K kompakt.

Svara Avbryt
Close