motsägelsebevis

Hej,

Du vill visa följande påstående:

    Om $p>3$ är ett primtal så är $(p+1)$ inte ett kvadrattal.

Ett motsägelsebevis: Låt $p>3$ vara ett primtal. Anta att $p+1$ är ett kvadrattal $k^2$ där $k$ är ett positivt heltal. Konjugatregeln låter dig då faktorisera

    $p = (k+1)(k-1).$

Eftersom $p$ är ett primtal måste det vara så att $p=k+1$ och $1=k-1$ vilket ger $k=2$ och $p=3.$ Men $p>3$ och resonemanget tvingar $p=3.$ Denna motsägelse visar att det var fel att anta att $p+1$ var ett kvadrattal.

Albiki skrev:

Hej,

Du vill visa följande påstående:

    Om $p>3$ är ett primtal så är $(p+1)$ inte ett kvadrattal.

Ett motsägelsebevis: Låt $p>3$ vara ett primtal. Anta att $p+1$ är ett kvadrattal $k^2$ där $k$ är ett positivt heltal. Konjugatregeln låter dig då faktorisera

    $p = (k+1)(k-1).$

Eftersom $p$ är ett primtal måste det vara så att $p=k+1$ och $1=k-1$ vilket ger $k=2$ och $p=3.$ Men $p>3$ och resonemanget tvingar $p=3.$ Denna motsägelse visar att det var fel att anta att $p+1$ var ett kvadrattal.

Jag hängde inte riktigt med från och med faktoriseringen...

Är du med på att det som ska visas falskt är att talet efter p är ett kvadrattal, och det kan skrivas såhär

P+1 = k^2

<=> p = k^2 - 1

<=> p=(k-1)(k+1)

Primtal kan bara delas med sig själva och 1, så den mindre parentesen (k-1) måste vara 1 och den andra talet självt, p.

Då kan vi lösa vad k och p är från ekvationerna

k-1=1      och

k+1=p

Är de svaren tillåtna i frågan?

Ja nu är jag på banan. 1 är mindre än 3 så nej, p vet jag inte hur jag jämföra 

Räkna ut vad p och k är i ekvationerna.

Micimacko skrev:

Räkna ut vad p och k är i ekvationerna.

p = k-1

k= 2

k=p-1

p-1 = 2

p=3

Och nu kan du jämföra p med det i frågan.

Micimacko skrev:

Och nu kan du jämföra p med det i frågan.

ja p skulle vara större än 3 inte lika med 3. 

Precis, så då har vi bevisat att om p+1 är en kvadrat så är p=3.