38 svar
175 visningar
Nichrome 452
Postad: 19 okt 2020

n stycken efterföljande positiva tal

Ett heltal n2 kallas kvadratpositivt då det finns n stycken efterföljande positiva tal vars summa är ett kvadrattal. Bestäm de fyra första kvadratpositiva talen. 

 

Jag har kommit fram till att 2 och 3 är kvadratpositiva för att 

 2 : 3 + 4 = 9 , 9 = 32

3:   2+3+4 = 9, 32 

och jag tänkte att det kanske är ett mönster att nästa tal borde vara 4 + 5 +6 +7 men det är inte ett kvadratpositivt tal. Och jag testade mig fram till 2 och 3 så jag undrar om det finns ett sätt att avgöra om ett tal är kvadratpositivt eller inte. 

 

Jag skrev de även så här men jag kom inte fram till nåt

n + n+1 = 2n + 1

n + n+1 + n +2 = 3n + 3

n + n+1 + n+2 + n+3 = 4n +6 

Laguna Online 11572
Postad: 19 okt 2020

Har du en bild på uppgiften?

Nichrome 452
Postad: 19 okt 2020
Laguna skrev:

Har du en bild på uppgiften?

Laguna Online 11572
Postad: 19 okt 2020

Jag är inte helt säker på vad de menar med "efterföljande". De borde mena konsekutiva (eller "efter varandra följande" på svenska), för annars är det väl trivialt, men huruvida talen ska följa direkt på n är oklart.

Vi kanske kan anta att de menar n tal i rad, med början var som helst.

(Ifall uppgiften är slarvigt översatt från engelska kan det ha stått "successive" där det står efterföljande.)

Nichrome 452
Postad: 19 okt 2020
Laguna skrev:

Jag är inte helt säker på vad de menar med "efterföljande". De borde mena konsekutiva (eller "efter varandra följande" på svenska), för annars är det väl trivialt, men huruvida talen ska följa direkt på n är oklart.

Vi kanske kan anta att de menar n tal i rad, med början var som helst.

(Ifall uppgiften är slarvigt översatt från engelska kan det ha stått "successive" där det står efterföljande.)

jag frågade min lärare, det spelar ingen roll vilket tal det är man börjar med så länge antalet är lika med n. T.ex 2 då blir det 4+5 = 9 = 32

Laguna Online 11572
Postad: 19 okt 2020

Så vi tar ett första tal a, och bildar summan a+a+1+a+2+...+a+n-1. Kan du ge en sluten formel för den summan? 

Laguna Online 11572
Postad: 19 okt 2020

Det kanske är bättre att ta ett fall i taget.

a + a+1 + a+2 + a+3 = 4a + 6 ska vara ett kvadrattal. Det ska tydligen vara jämnt. 16 går inte. Inte 36 heller. Det kanske inte går alls.

Hur är det med n=5? 5a+10 ska vara ett kvadrattal. 

Nichrome 452
Postad: 19 okt 2020
Laguna skrev:

Det kanske är bättre att ta ett fall i taget.

a + a+1 + a+2 + a+3 = 4a + 6 ska vara ett kvadrattal. Det ska tydligen vara jämnt. 16 går inte. Inte 36 heller. Det kanske inte går alls.

Hur är det med n=5? 5a+10 ska vara ett kvadrattal. 

det är det jag inte förstår, vad kan man dra för slutsats av 4a + 6 och 5a + 10? 

Laguna Online 11572
Postad: 20 okt 2020

Försök få de uttrycken att bli kvadrattal, sen kan kan du dra en slutsats.

Nichrome 452
Postad: 20 okt 2020 Redigerad: 20 okt 2020

Ska jag testa mig fram?

Nichrome 452
Postad: 20 okt 2020

5a + 10 

a = 3 

Nichrome 452
Postad: 20 okt 2020

och 4a + 6 funkar inte. 

Laguna Online 11572
Postad: 20 okt 2020

Att prova är utmärkt om man hittar något. Det som återstår är att bevisa att 4a+6 inte kan vara ett kvadrattal.

Nichrome 452
Postad: 20 okt 2020
Laguna skrev:

Att prova är utmärkt om man hittar något. Det som återstår är att bevisa att 4a+6 inte kan vara ett kvadrattal.

men jag måste ändå presentera en metod? T.ex hur vet  man om 18 är ett kvadratpositivt tal eller inte. 

4a + 6 alltså summan av 4 efterföljande tal kan inte vara ett ett kvadrattal för att 4a +6 är alltid jämnt och alla jämna kvadrater är delbara med 4. Och 4a +6 är inte delbart med 4 för att 6 är inte delbart med 4. 

Laguna Online 11572
Postad: 20 okt 2020 Redigerad: 20 okt 2020

Det är ju sant, vi skulle inte bara hitta de första n som det fungerade för.

Edit: jo, det var ju visst det som var uppgiften. Så hur är det med n=6?

Resonemanget om 4a+6 stämmer.

Nichrome 452
Postad: 20 okt 2020

Jag kanske är helt ute och cyklar men jag har hittat en metod för att avgöra om ett tal är kvadratpositivt eller inte

först räknar man summan t.ex 6n + 15(summan av 6 efterföljande tal)

sedan kvadrerar man 15 och subtraherar 15 från denna summa

och dividerar den med 6 och man får 35 vilket är det första talet man börjar med 

6n +15

152 = 225

225 - 15 = 210

210/6 = 35

35+36+37+38+39+40 = 225

och det funkar för alla n

7 t.ex 

7n + 21 

21 = 441

441 - 21 = 420

420/7 = 60

60 + 61 + 62 + 63 +64 + 65 + 66 = 441

 

6 och 7 är kvadratpositiva. 

Nichrome 452
Postad: 20 okt 2020

man alltså fram det talet som man ska börja med, sedan får man testa och se om det funkar. Jag har testat metoden och det funkar t.ex inte för 8, 9 och 10 så jag antar att de inte är kvadratpositiva? Eller är det min metod som är fel?

Laguna Online 11572
Postad: 20 okt 2020 Redigerad: 20 okt 2020

8 går bra: 1+2+...+8 = 36

9 går också: 32+33+34+35+36+37+38+39+40 = 9*36.

Nichrome 452
Postad: 21 okt 2020 Redigerad: 21 okt 2020
Laguna skrev:

8 går bra: 1+2+...+8 = 36

9 går också: 32+33+34+35+36+37+38+39+40 = 9*36.

ja förlåt, jag hade gjort fel. Min metod funkar för alla udda tal inklusiv 6 och 10. Jag kan dock inte applicera det för 12 och 24 så jag antar att det inte går om det finns en faktor 8 i talet eller 4(för alla n större än 8 dvs) . Stämmer det? 

Min metod funkar för alla udda tal inklusiv 6 och 10.

Det du skriver är obegripligt. Varken 6 eller 10 är udda tal.

Nichrome 452
Postad: 21 okt 2020
Smaragdalena skrev:

Min metod funkar för alla udda tal inklusive 6 och 10.

Det du skriver är obegripligt. Varken 6 eller 10 är udda tal.

Jag skrev att metoden funkar för alla udda tal inklusive 6 och 10. Jag menar inte att 6 och 10 är udda om jag menade att de var udda då behövde jag inte skriva inklusive 6 och 10. De hade redan varit i "mängden" av udda tal. 

Poängen är i alla fall att metoden funkar för alla udda tal. Och av alla jämna tal som jag har testat så har det bara funkat för 6 och 10. 

Laguna Online 11572
Postad: 21 okt 2020

Det kan vara dags att försöka lösa problemet allmänt. Vet  du formeln för summan av heltalen från 1 till n? 

Nichrome 452
Postad: 21 okt 2020

ja, n(n+1)2

Laguna Online 11572
Postad: 21 okt 2020

Så vi vill veta om an+n(n-1)/2 kan vara ett kvadrattal. Om n är udda så har vi n(a+(n-1)/2) och då kan vi välja a så att a+(n-1)/2 = n så får vi n^2.

Hur blir det om n är udda? 

Nichrome 452
Postad: 21 okt 2020
Laguna skrev:

Så vi vill veta om an+n(n-1)/2 kan vara ett kvadrattal. Om n är udda så har vi n(a+(n-1)/2) och då kan vi välja a så att a+(n-1)/2 = n så får vi n^2.

Hur blir det om n är udda? 

jag hänger inte riktigt med här an+n(n-1)/2

Laguna Online 11572
Postad: 21 okt 2020

Du har räknat ut de första själv (fast jag kallar ditt n för a i stället): 2a+1, 3a+3, 4a+6 (för n = 1, 2 och 3).

Nichrome 452
Postad: 21 okt 2020
Laguna skrev:

Du har räknat ut de första själv (fast jag kallar ditt n för a i stället): 2a+1, 3a+3, 4a+6 (för n = 1, 2 och 3).

okej...

Laguna Online 11572
Postad: 21 okt 2020

Summan a + a+1 + a+2 +... + a+n-1 kan skrivas som summan av de n stycken a:na och 1+...n-1.

Nichrome 452
Postad: 21 okt 2020
Laguna skrev:

Summan a + a+1 + a+2 +... + a+n-1 kan skrivas som summan av de n stycken a:na och 1+...n-1.

det är jag med på, men fortsättningen gör mig förvirrad.

Nichrome skrev:
Smaragdalena skrev:

Min metod funkar för alla udda tal inklusive 6 och 10.

Det du skriver är obegripligt. Varken 6 eller 10 är udda tal.

Jag skrev att metoden funkar för alla udda tal inklusive 6 och 10. Jag menar inte att 6 och 10 är udda om jag menade att de var udda då behövde jag inte skriva inklusive 6 och 10. De hade redan varit i "mängden" av udda tal. 

Poängen är i alla fall att metoden funkar för alla udda tal. Och av alla jämna tal som jag har testat så har det bara funkat för 6 och 10. 

Du menar att din metod fungerar för alla udda tal samt för 6 och 10.

Laguna Online 11572
Postad: 21 okt 2020

T. ex. n=13 ger 13a+13*12/2 = 13(a+6). Då väljer vi a = 7 så blir det 13*13.

Efter det menade jag jämn när jag skrev udda. Då funkar det inte alltid. 

Laguna Online 11572
Postad: 26 okt 2020

Vill du fortsätta utreda detta fullständigt? Själva uppgiften är väl redan besvarad. 

Albiki Online 4979
Postad: 26 okt 2020

Hej,

Problem: Låt n2n\geq 2 vara ett heltal sådant att det finns ett heltal an>na_n>n med egenskapen att summan

    an+(an+1)+(an+2)++(an+(n-1))a_n+(a_n+1)+(a_n+2)+\cdots+(a_n+(n-1))

är ett kvadrattal. Lista de fyra första sådana heltalen n.n.

Nichrome 452
Postad: 26 okt 2020
Laguna skrev:

Vill du fortsätta utreda detta fullständigt? Själva uppgiften är väl redan besvarad. 

Ja, gärna! Jag har svaret redan men jag har fortfarande inte lyckats bevisa det eller komma på en generell formel för att testa om ett heltal k är kvadratpositivt eller inte. Jag förstår varför 4 inte är kvadratpositivt och jag vill också veta varför den formeln som jag hittade inte fungerar för jämna tal som har faktor 8 i sig, förut 8 då. 

Albiki Online 4979
Postad: 26 okt 2020 Redigerad: 26 okt 2020
Albiki skrev:

Hej,

Problem: Låt n2n\geq 2 vara ett heltal sådant att det finns ett heltal an>na_n>n med egenskapen att summan

    an+(an+1)+(an+2)++(an+(n-1))a_n+(a_n+1)+(a_n+2)+\cdots+(a_n+(n-1))

är ett kvadrattal. Lista de fyra första sådana heltalen n.n.

Rättelse: Enligt Läraren krävs det inte att an>n.a_n>n. 

Då ska n·an+0.5n(n-1)=m2n \cdot a_n + 0.5n(n-1) = m^2 där m1m\geq 1 är ett heltal.

Detta är samma sak som kravet att

    n(2an-1)+n2=2m2n2+n(2an-1)-2m2=0.n(2a_n-1)+n^2=2m^2 \iff n^2 + n(2a_n-1)-2m^2=0.

och PQ-formeln ger lösningar

    n=0.5-an±(an-0.5)2+2m2.n = 0.5-a_n\pm \sqrt{(a_n-0.5)^2+2m^2}.

Här är man fri att välja ana_n och mm så att

    (an-0.5)2+2m2(a_n-0.5)^2+2m^2

är ett udda kvadrattal, (2k+1)2(2k+1)^2, dividerat med 4 

    (2an-2)2+8m2=(2k+1)2n=0.5-an±(2k+1)/2.(2a_n-2)^2+8m^2 = (2k+1)^2 \implies n=0.5-a_n\pm (2k+1)/2.

Det vill säga att n=1-an+kn=1-a_n+k eller n=-(an+k).n=-(a_n+k).

Nichrome 452
Postad: 26 okt 2020

Kan du förklara vad du gjorde? 

Glenn_Hys3n 2
Postad: 4 nov 2020

Lösning varför 4 inte kvadpositiv:

Vi ställer upp ekvation som det står i uppgiften, 4 efterföljande tal ska bli ett kvadrat tal

4n+6=t^2

Sedan använder vi oss av Delbarhetsregel 1 (det är vad min lärare kallare det), att i ekvationen a+b=c om två av dessa är delbara med x så måste den tredje vara det

Ex/ 6 + 3k = x då måste x vara delbart med 3 eftersom både 6 och 3k är det.

Tillbaka till ekvationen 4n+6=t^2

4n och 6 är delbart med två därför måste t^2 vara det, men eftersom t^2 består av primtalsfaktorerna t*t måste också t ha faktorn 2. t^2 har två faktorer t och därför har t^2 också 2 st 2 som faktor, det måste vara delbart med 4.

Enligt delbarhetsregel 1 så är; 4n är delbart med 4 och t^2 är delbart med 4 och då måste 6 vara delbart med 4, men det är det inte. Därför måste t och n vara irrationella och uppfyller 4 uppfyller då inte kvadratpositiv reglerna.

 

Ps din metod att hitta kvadratpositiva tal fungerar, men hittar inte det minsta talet, tex för talet 6 kan man också ta 11+12+13+14+15+16=81. 

Glenn_Hys3n 2
Postad: 4 nov 2020

Ännu en sak till, går du hvitfeldtska mattespec klass Na20C? 

Om inte trodde jag det, eftersom vi har fått exakt samma uppgift.

Nichrome 452
Postad: 4 nov 2020
Glenn_Hys3n skrev:

Lösning varför 4 inte kvadpositiv:

Vi ställer upp ekvation som det står i uppgiften, 4 efterföljande tal ska bli ett kvadrat tal

4n+6=t^2

Sedan använder vi oss av Delbarhetsregel 1 (det är vad min lärare kallare det), att i ekvationen a+b=c om två av dessa är delbara med x så måste den tredje vara det

Ex/ 6 + 3k = x då måste x vara delbart med 3 eftersom både 6 och 3k är det.

Tillbaka till ekvationen 4n+6=t^2

4n och 6 är delbart med två därför måste t^2 vara det, men eftersom t^2 består av primtalsfaktorerna t*t måste också t ha faktorn 2. t^2 har två faktorer t och därför har t^2 också 2 st 2 som faktor, det måste vara delbart med 4.

Enligt delbarhetsregel 1 så är; 4n är delbart med 4 och t^2 är delbart med 4 och då måste 6 vara delbart med 4, men det är det inte. Därför måste t och n vara irrationella och uppfyller 4 uppfyller då inte kvadratpositiv reglerna.

 

Ps din metod att hitta kvadratpositiva tal fungerar, men hittar inte det minsta talet, tex för talet 6 kan man också ta 11+12+13+14+15+16=81. 

Tack för hjälpen! Jag går inte på hvitfeldtska jag fick problemet av en kompis.

Svara Avbryt
Close