Någon mattekunnig? (Matematik/Universitet)

Hur har du försökt själv? Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver när du har kört fast, inte att någon annan skall göra dina uppgifter åt dig.

smaragdalena skrev :
Hur har du försökt själv? Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver när du har kört fast, inte att någon annan skall göra dina uppgifter åt dig.

Yes det har jag faktiskt!

Har du kollat om du får fram något gränsvärde med hjälp av miniräknare? Det brukar vara lättare att bevisa något, om man vet vad det är man vill komma fram till.

Får du använda L'Hôpitals regel?

HT-Borås skrev :
Får du använda L'Hôpitals regel?

Jag får använda alla metod för att komma till rätt svar.

Får du använda ALLA metoder? WolframAlpha!

smaragdalena skrev :
Får du använda ALLA metoder? WolframAlpha!

Kanske kan vara en bra taktik att träna på de metoder som går att använda på en tenta? WolframAlpha lär inte vara en sådan :-)

Men l'Hôpitals regel är det.

Jag har fått lära mig att L'Hôpitals regel inte är så bra att använda. Den här uppgiften kan man ju dessutom använda standardgränsvärden för att lösa, så varför inte träna på dem?

Dela upp nämnaren mha trigonometriska samband (sin(2x)=2sin(x)cos(x)). Sen kan du använda standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$

Prova det och se vad du kommer fram till.

Hondel skrev :
Jag har fått lära mig att L'Hôpitals regel inte är så bra att använda. Den här uppgiften kan man ju dessutom använda standardgränsvärden för att lösa, så varför inte träna på dem?
Dela upp nämnaren mha trigonometriska samband (sin(2x)=2sin(x)cos(x)). Sen kan du använda standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$
Prova det och se vad du kommer fram till.

Jag är lite nyfiken på varför L'Hôpitals regel inte skulle vara "så bra att använda"? Fick du veta varför, eller i vilka fall, det skulle vara så?

Personligen tycker jag det gick alldeles utmärkt med just L'Hôpitals regel här, medan jag verkligen inte tycker att ett standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$ ligger speciellt nära till hands. Fast det sista kanske beror på att det var många år sedan jag tittade på sådant...

inte kan man väl använd l'Hôspitals regel här? Den regeln fungerar bara när man har limes $\frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{\infty}$

joculator skrev :
inte kan man väl använd l'Hôspitals regel här? Den regeln fungerar bara när man har limes 00 eller ∞∞

Det är ju "0/0".

dobedidoo skrev :
Hondel skrev :
Jag har fått lära mig att L'Hôpitals regel inte är så bra att använda. Den här uppgiften kan man ju dessutom använda standardgränsvärden för att lösa, så varför inte träna på dem?
Dela upp nämnaren mha trigonometriska samband (sin(2x)=2sin(x)cos(x)). Sen kan du använda standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$
Prova det och se vad du kommer fram till.
Jag är lite nyfiken på varför L'Hôpitals regel inte skulle vara "så bra att använda"? Fick du veta varför, eller i vilka fall, det skulle vara så?
Personligen tycker jag det gick alldeles utmärkt med just L'Hôpitals regel här, medan jag verkligen inte tycker att ett standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$ ligger speciellt nära till hands. Fast det sista kanske beror på att det var många år sedan jag tittade på sådant...

Jag fick aldrig lära mig den och visste inte vad det var förrän jag läste på denna sida (scrolla ned nästan längst ned till rubriken "L'Hôpitals regel").

Angående standardgränsvärde är det väl utmärkt att använda i det här fallet. Man använder standardgränsvärdet

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

men i denna uppgift måste man ju göra variabelbytet t=cosx och då kan du stoppa in t istället för x ovan (cosx går ju mot 0 när x går mot pi/2, varför t går mot 0).

Hondel skrev :
dobedidoo skrev :
Hondel skrev :
Jag har fått lära mig att L'Hôpitals regel inte är så bra att använda. Den här uppgiften kan man ju dessutom använda standardgränsvärden för att lösa, så varför inte träna på dem?
Dela upp nämnaren mha trigonometriska samband (sin(2x)=2sin(x)cos(x)). Sen kan du använda standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$
Prova det och se vad du kommer fram till.
Jag är lite nyfiken på varför L'Hôpitals regel inte skulle vara "så bra att använda"? Fick du veta varför, eller i vilka fall, det skulle vara så?
Personligen tycker jag det gick alldeles utmärkt med just L'Hôpitals regel här, medan jag verkligen inte tycker att ett standardgränsvärde för $\frac{e^{\cos x} - 1}{\cos x}$ ligger speciellt nära till hands. Fast det sista kanske beror på att det var många år sedan jag tittade på sådant...
Jag fick aldrig lära mig den och visste inte vad det var förrän jag läste på denna sida (scrolla ned nästan längst ned till rubriken "L'Hôpitals regel").
Angående standardgränsvärde är det väl utmärkt att använda i det här fallet. Man använder standardgränsvärdet
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$
men i denna uppgift måste man ju göra variabelbytet t=cosx och då kan du stoppa in t istället för x ovan (cosx går ju mot 0 när x går mot pi/2, varför t går mot 0).

Ah, ja, såklart man kan! Som sagt, var nog lit för länge sedan, men nu är jag med! Jag förstår detta standardgränsvärde från serieutvecklingen $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + . . .$ , och då blir det uppenbart för mig.

Yngve skrev :
joculator skrev :
inte kan man väl använd l'Hôspitals regel här? Den regeln fungerar bara när man har limes 00 eller ∞∞
Det är ju "0/0".

Gah! jag tänkte på limes x->pi/2 1/sin(2x) men skall såklart bara se på sin(2x)

L'Hopitals regel brukar ofta ogillas av flera orsaker. En av dem är att studenter ofta använder den felaktigt (exempelvis använder den på vilken kvot som helst). En annan är att det lätt kan bli cirkelbevis. Om vi exempelvis vill studera (sinx)/x när x går emot 0 så kan det vara frestande att använda L'Hopital. Men derivatan för sin x bygger just på det gränsvärdet, så då antar man att gränsvärdet är 1 för att visa att gränsvärdet är 1.

JohanB skrev :
L'Hopitals regel brukar ofta ogillas av flera orsaker. En av dem är att studenter ofta använder den felaktigt (exempelvis använder den på vilken kvot som helst). En annan är att det lätt kan bli cirkelbevis. Om vi exempelvis vill studera (sinx)/x när x går emot 0 så kan det vara frestande att använda L'Hopital. Men derivatan för sin x bygger just på det gränsvärdet, så då antar man att gränsvärdet är 1 för att visa att gränsvärdet är 1.

Tack för bra svar! Då lärde jag mig nåt nytt idag med. :)

Hej!

Med hjälp av derivatans definition för diverse funktioner kan man beräkna det sökta gränsvärdet. Förläng kvoten på följande sätt.

$\displaystyle \frac{e^{\cos x}-e^{\cos(\pi/2)}}{\cos x-\cos(\pi/2)}\cdot \frac{\cos x-\cos(\pi/2)}{x-\pi/2}\cdot\frac{x-\pi/2}{\sin 2x - \sin 2\cdot\pi/2}\ .$

Derivatan för funktionen $e^{y}$ beräknad då $y = \cos \pi/2$ ger att den första faktorn närmar sig värdet $e^{\cos\pi/2}$ när $x$ närmar sig $\pi/2$ .

Derivatan för funktionen $\cos y$ beräknad då $y=\pi/2$ ger att den andra faktorn närmar sig värdet $-\sin(\pi/2)$ när $x$ närmar sig $\pi/2$ .

Derivatan för funktionen $\sin 2y$ beräknad då $y = \pi/2$ ger att den tredje faktorn närmar sig värdet $\frac{1}{2\cos 2\cdot\frac{\pi}{2}}$ när $x$ närmar sig $\pi/2$ .

Produkten av de tre faktorerna närmar sig därför värdet $\frac{1}{2}$ när $x$ närmar sig $\pi/2$ .

Albiki