Några frågor om linjär algebra

Först och främst:

1. Vad är skillnaden mellan att vektorer spänner upp ett rum och att de är en bas?

Båda betyder att varje vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ i rummet kan skrivas $\stackrel{\rightharpoonup }{v}= x_1\stackrel{\rightharpoonup }{u_1} + x_2\stackrel{\rightharpoonup }{u_2} + ...$ osv, men för att det ska vara en bas gället att $x_1, x_2, ...$ska vara entydigt bestämda tal. 

Kan någon hjälpa mig att förstå detta på ett intuitivt (gärna visuellt) sätt? Finns det något bra exempel på vektorer som spänner upp ett rum, men som inte är en bas för detta rum? 

---

Här kommer några instuderingsfrågor som jag behöver hjälp med:

2. Visa att kolonnerna i A $(n\times p)$ spänner upp ${\mathrm{ℝ}}^n$om och endast om systemet $A\stackrel{\rightharpoonup }{x} = \stackrel{\rightharpoonup }{y}$har lösning för varje $\stackrel{\rightharpoonup }{y}\in {\mathrm{ℝ}}^n$. 

Jag börjar med t.ex.: $\mathrm{Kolonnerna} \mathrm{i} \mathrm{A} \mathrm{spänner} \mathrm{upp} {\mathrm{ℝ}}^{\mathrm{n}} \iff \mathrm{rang}\left(\mathrm{A}\right) = \mathrm{n}$... men sen fastnar jag lite.

Om A är en (2 x 3)-matris och kolonnerna spänner upp ${\mathrm{ℝ}}^2$ ser jag framför mig att alla vektorer $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$i ${\mathrm{ℝ}}^{3 }$avbildas på ett plan ${\mathrm{ℝ}}^2$, vilket innebär att alla $\stackrel{\rightharpoonup }{y}$i ${\mathrm{ℝ}}^2$ har en oändligt många lösningar. Om kolonnerna däremot bara spänner upp ${\mathrm{ℝ}}^1$avbildas alla vektorer på en linje och det är enkelt att välja $\stackrel{\rightharpoonup }{y}$som inte ingår i ${\mathrm{ℝ}}^1$. Hur kan jag uttrycka detta enklast?

3. Visa att kolonnerna i A ($n\times p$) är en bas för ${\mathrm{ℝ}}^n$ om och endast om systemet $A\stackrel{\rightharpoonup }{x} = \stackrel{\rightharpoonup }{y}$har entydig lösning för varje $\stackrel{\rightharpoonup }{y}\in {\mathrm{ℝ}}^n$. 

Lite samma grej. Jag antar att detta enbart är möjligt för $p=n$eftersom under-/överbestämda system inte kan ha entydig lösning för alla $\stackrel{\rightharpoonup }{y}$, eller? Hur kan man uttrycka svaret?

---

Edit 1: Nu kom jag på att det kanske har med antalet vektorer att göra, eller? Om tre vektorer spänner upp ${\mathrm{ℝ}}^{3 }$är de också en bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$, men om man lägger till en fjärde vektor i samma rum så får du fyra vektorer som fortfarande spänner upp ${\mathrm{ℝ}}^3$, men som inte kan utgöra en bas. Har jag rätt?

Edit 2: en oändligt många

---

Fråga 2 och 3 strukna då det bryter mot pluggakutens regler. Läs kommentar nedan. /Dracaena