3 svar
72 visningar
jonnefcb 114
Postad: 12 mar 2023 12:27 Redigerad: 12 mar 2023 12:51

Några frågor om linjär algebra

Först och främst:

1. Vad är skillnaden mellan att vektorer spänner upp ett rum och att de är en bas?

Båda betyder att varje vektor v i rummet kan skrivas v= x1u1 + x2u2 + ... osv, men för att det ska vara en bas gället att x1,  x2, ... ska vara entydigt bestämda tal. 

Kan någon hjälpa mig att förstå detta på ett intuitivt (gärna visuellt) sätt? Finns det något bra exempel på vektorer som spänner upp ett rum, men som inte är en bas för detta rum? 


Här kommer några instuderingsfrågor som jag behöver hjälp med:

2. Visa att kolonnerna i A (n×p) spänner upp n om och endast om systemet Ax = y har lösning för varje y n

Jag börjar med t.ex.: Kolonnerna i A spänner upp n  rang(A) = n ... men sen fastnar jag lite.

Om A är en (2 x 3)-matris och kolonnerna spänner upp 2 ser jag framför mig att alla vektorer x i 3 avbildas på ett plan 2, vilket innebär att alla y 2 har en oändligt många lösningar. Om kolonnerna däremot bara spänner upp 1 avbildas alla vektorer på en linje och det är enkelt att välja y som inte ingår i 1. Hur kan jag uttrycka detta enklast?

3. Visa att kolonnerna i A (n×p) är en bas för n om och endast om systemet Ax = y har entydig lösning för varje yn

Lite samma grej. Jag antar att detta enbart är möjligt för p=n eftersom under-/överbestämda system inte kan ha entydig lösning för alla y, eller? Hur kan man uttrycka svaret?


Edit 1: Nu kom jag på att det kanske har med antalet vektorer att göra, eller? Om tre vektorer spänner upp 3 är de också en bas för 3, men om man lägger till en fjärde vektor i samma rum så får du fyra vektorer som fortfarande spänner upp 3, men som inte kan utgöra en bas. Har jag rätt?

Edit 2: en oändligt många


Fråga 2 och 3 strukna då det bryter mot pluggakutens regler. Läs kommentar nedan. /Dracaena

Tomten 1729
Postad: 12 mar 2023 12:49 Redigerad: 12 mar 2023 13:34

En hint om fråga 1 får du om du tittar på logiken i fråga 2 och 3.  Låt påståendet i fr 2 vara  P <==> Q och i fr 3  vara S <==> Q. Av detta följer P <==> S, dvs det är ingen väsentlig skillnad mellan att spänna upp och vara en bas. Dock är det också, som du själv upptäckte, att en bas kan vara en äkta delmängd av en spännande mängd vektorer men inte omvänt.

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 12 mar 2023 12:50 Redigerad: 12 mar 2023 12:50

jonnefcb, det är inte tillåtet att ha flera frågor i en och samma tråd. Skapa en ny tråd angående fråga 2 och 3 om du fortfarande behöver hjälp med de så tar vi fråga 1 i denna tråden. 

jonnefcb 114
Postad: 12 mar 2023 12:52
Dracaena skrev:

jonnefcb, det är inte tillåtet att ha flera frågor i en och samma tråd. Skapa en ny tråd angående fråga 2 och 3 om du fortfarande behöver hjälp med de så tar vi fråga 1 i denna tråden. 

Okej, jag korrigerar detta strax

Svara Avbryt
Close