När är z^4 reellt?

Hej.

Har du prövat om det stämmer, dvs har du kontrollerat vad z⁴ blir då n = 0, 1, 2 och 3?

Jag ser nu att t.ex. n = 1 inte ger ett reellt tal oavsett värde på r. Hmm, vad konstigt. Vad har jag gjort fel?

Anonym_15 skrev:

Jag ser nu att t.ex. n = 1 inte ger ett reellt tal oavsett värde på r. Hmm, vad konstigt. Vad har jag gjort fel?

Att sätta z = r(coos(v)+i*sin(v)) är en bra början.

Det vi vill göra är att hitta alla möjliga z som är sådana att z⁴ saknar imaginärdel.

Värdet på r påverkar inte detta överhuvud taget, vilket betyder att r kan anta vilket värde som helst.

Det gäller nu att bestämma de vinklar v som uppfyller villkoret.

Visa vad du får z⁴ till om n = 1 i ditt förslag.

Nu kanske jag har kommit fram till något. Se nedan:

Kan det stämma?

Delar av ditt resonemang är utmärkt, men du går vilse lite genom att du blandar ihop z och z⁴.

Om z = r(cos(v)+i*sin(v)) så är z⁴ = r⁴(cos(4v)+i*sin(4v))

Du har genom ett bra resonemang kommit fram till att v = n*45°, där n är ett heltal.

Då blir z⁴ = r⁴(cos(4*n*45°)+i*sin(4*n*45°)) = r⁴(cos(n*180°)+i*sin(n*180°)).

Är du med på det?

Kan detta stämma? Vad var det som hade gått snett för mig? Vad bör man tänka på när man löser en liknande uppgift?

Det ser bra ut, men ett par kommentarer:

Eftersom du svarar på polär form så bör du inte begränsa n till att bara kunna anta värdena 0 och 1. Villkoret är ju uppfyllt för alla heltal n.

Om du vill begränsa r till icke-negativa tal så bör du nog redan i början när du sätter z = r(cos(v)+i*sin(v)) skriva att det gäller för r $\geq$ 0.

Anonym_15 skrev:

[...]

Vad var det som hade gått snett för mig? Vad bör man tänka på när man löser en liknande uppgift?

Ditt första svar var ju nästan rätt, de enda problemen var att du skrev r⁴ istället för r och att du begränsade n till heltalen 0-3.

Yngve skrev:

Det ser bra ut, men ett par kommentarer:

Eftersom du svarar på polär form så bör du inte begränsa n till att bara kunna anta värdena 0 och 1. Villkoret är ju uppfyllt för alla heltal n.

Om du vill begränsa r till icke-negativa tal så bör du nog redan i början när du sätter z = r(cos(v)+i*sin(v)) skriva att det gäller för r $\geq$ 0.

Slutgiltiga svaret bör alltså skrivas så här (med hänsyn till n): n = 0,1 där n är ett heltal. Men är inte detta redan tydligt då både 0 och 1 är heltal?

Dessutom, om r = 0 kommer väl hela uttrycket anta värdet 0? 

Anonym_15 skrev:

Slutgiltiga svaret bör alltså skrivas så här (med hänsyn till n): n = 0,1 där n är ett heltal. Men är inte detta redan tydligt då både 0 och 1 är heltal?

Nej, jag tycker att det slutliga svaret bör vara: Alla z som kan skrivas på formen z = r(cos(n*45°)+i*sin(45°)), där n är ett heltal och där r är ett reellt tal (eventuellt att r $\geq$ 0).

Du bör alltså inte begränsa svaret till att endast gälla för n = 0 och n = 1.

Exempel: Om n = 7 så är.z⁴ = r⁴(cos(7*180°)+i*sin(7*180°)) = r⁴(cos(1260°)+i*sin(1260°)) = r⁴*(-1) = -r⁴, vilket saknar imaginärdel.

Dessutom, om r = 0 kommer väl hela uttrycket anta värdet 0? 

Ja, och då är även z⁴ = 0, vilket uppfyller villkoret att z⁴ ska sakna imaginärdel.