När blir Andraderivatan lika med 0?

Jag förstår inte hur man kan se vilket X som ger att andraderivatan blir lika med noll?

g(x) är en 3:e-gradsfunktion

g'(x) är en 2:a-gradsfunktion med nollställen i x=3 och x=6.

Då g'(5)>0 är g'(x) konvex med lokal maximipunkt för x=1/2(3+6)=4.5 och där är även (g'(x))' = g''(x) = 0

Rita en bild så blir det hela klart.

Det går även att resonera på följande sätt:

g'(x) är en andragradsfunktion, vilket innebär att den har en stationär punkt (minimi- eller maximipunkt). Vid denna stationära punkt är derivatan av andragradsfunktionen lika med 0, dvs g''(x) = 0.

Den stationära punkten ligger på symmetrilinjen, som återfinns mitt emellan nollställena x = 3 och x = 6.

Du kan förstås också lösa problemet algebraiskt:

Visa spoiler

Derivatan av en tredjegradsfunktion blir en andragradsfunktion. Den kan vi skriva:

$f' (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$

Våra rötter är givna i uppgiften: r₁=3 och r₂=6. Vi sätter in dem:

$f' (x) = a (x - 3) (x - 6) = a (x^{2} - 9 x + 18)$

Vi är ju intresserade av andraderivatans nollställe, så vi deriverar en gång till:

$f' (x) = a (x^{2} - 9 x + 18) = a x^{2} - 9 a x + 18 f'' (x) = 2 a x - 9 a$

Vad a är vet vi inte, förutom att: $a \neq 0$ . Vore a=0 skulle vi inte ha någon kurva alls.

Vi bryter ut 2a ur andraderivatan och sätter uttrycket =0:

$f'' (x) = 2 a x - 9 a = 2 a (x - 4, 5) 2 a (x - 4, 5) = 0$

Nu är det rätt lätt att se att se att lösningen är x=4,5.

Svara

Visa senaste svar