7 svar
59 visningar
Farah2002 är nöjd med hjälpen
Farah2002 22
Postad: 16 dec 2020 20:05

När har tanx två lösningar?

Hej! 

Jag undrar när tanx i en ekvation har två lösningar?

Exempelvis har min mattebok i ett exempel sagt att sinx=-3.1cosx har både x=72.1+180n & x=(180-72.1)+180n som lösning. När jag ska lösa sinx=0.8cosx antog jag att jag skulle göra detsamma, dvs subtrahera min första lösning från 180 men enligt boken finns det då bara en lösning; x=38,7 + 180n vilket var den jag subraherade 180 med för att få x2.

Hondel 410
Postad: 16 dec 2020 20:11 Redigerad: 16 dec 2020 20:24

38.7+180n - 180 = 38.7 + 180(n-1), och eftersom n är alla heltal kommer detta inte vara en ny lösning. Exempelvis, om man för lösningen 38.7+180n sätter n = 1 kan man för lösningen 38.7 + 180(n-1) välja n=2 och man får samma vinkel. Så, för varje val av n i lösningen 38.7+180n finns det ett annat n som man kan stoppa in i lösningen 38.7+180(n-1) för att få samma lösning. 

Jag läste frågan fel. 

Är du säker på att du skrivit av de två lösningarna korrekt? tan(72.1)=3.1 så det uppfyller inte ursprungsekvationen. Om det är att du missat ett minustecken framför 72.1 så är det ingen ytterligare lösning enligt samma resonemang som står i min numer överstrukna text

I alla fall, tanx har alltid oändligt antal lösningar (eftersom det finns oändligt antal val av n). Generellt kan man säga att om du har ekvationen tan(x)=y\text{tan}(x)=y kommer svaret vara x=tan-1(y)+180nx=\text{tan}^{-1}(y) + 180n och det är alla lösningar. Det finns inget behov av att subtrahera 180 eller något liknande. 

Dr. G 6787
Postad: 16 dec 2020 20:23
Farah2002 skrev:

Exempelvis har min mattebok i ett exempel sagt att sinx=-3.1cosx har både x=72.1+180n & x=(180-72.1)+180n som lösning

Säger den det?

Lösningarna ärx=arctan(-3.1)+n·180°-72.1°+n·180°x=\arctan(-3.1) + n\cdot 180^{\circ}\approx -72.1^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}

x ≈ 72.1° är ingen lösning. 

Farah2002 22
Postad: 16 dec 2020 20:26

Missade minustecknet! Ska vara x=-72.1+180n, men x=107.9+180n står fortfarande som lösning, hur kommer det sig? 

Dr. G 6787
Postad: 16 dec 2020 20:29

107.9° ligger 180° från -72.1°, så den innefattas av -72.1° +n*180° (med n = 1). 

Farah2002 22
Postad: 16 dec 2020 20:37

Jag förstår nu mitt fel med vad jag trodde var att "subtrahera 180", men varför står den andra lösningen med som lösning i formen 107.9+180n? (Dvs "+180n"). Borde det inte bara stå x=107.9 i sådana fall? Om tan har perioden 180 och dess värden återkommer efter 180 grader varför finns den som en till lösning när -72.1+180n genererar den? Då är väl bara -72.1+180n en lösning och då man byter ut n mot 1 så får man den andra, den tredje etc? 

Dr. G 6787
Postad: 16 dec 2020 21:00
Dr. G skrev:

Lösningarna är

x=arctan(-3.1)+n·180°-72.1°+n·180°x=\arctan(-3.1) + n\cdot 180^{\circ}\approx -72.1^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}

Uttrycket ovan innefattar alla lösningar, där n är ett godtyckligt heltal. 

Lösningarna kan även skrivas t.ex

x=180°+arctan(-3.1)+m·180°107.9°+m·180°x= 180^{\circ}+\arctan(-3.1) + m\cdot 180^{\circ}\approx 107.9^{\circ} + m\cdot 180^{\circ}

där m är ett godtyckligt heltal. 

De två uttrycken beskriver båda samma lösningsmängd. 

Smaragdalena 57479 – Avstängd
Postad: 16 dec 2020 21:01

 För mig underlättar det väldigt mycket att tänka att tan(v) är riktningskoefficienten för vinkelbenet v. Då känner jag direkt att om tangens för en vinkel är större än 1 så måste vinkeln vara större än 45o, d v s linjen som har riktningskoefficienten 1.

Svara Avbryt
Close