Naturliga koordinatsystemet

Titta på den allmänna ekvationen (4). Som du ser beror accelerationen i normalriktningen av $\dot{s}$. Accelerationen i tangentriktningen beror av $\ddot{s}$.

Du får accelerationen i tangentriktningen, dvs $\ddot{s}$, given. Sedan kan du integrera denna en gång och utnyttja begynnelsevillkor för att få $\dot{s}$, vilket gör att du kan beräkna accelerationens komponent i normalriktningen.

Svarar det på din fråga?

Tack för hjälpen! Men jag tänker att om jag integrerar accelerationen i tangentialriktning får jag hastigheten i tangentialriktning, inte hastingeten i normalriktningen. Det är detta jag inte förstår anledningen till. Jag hade tänkt att om jag får hastigheten i normalriktningen och hade haft den totala hastigheten hade jag kunnat använda pythagoras sats för att få fram hastigheten i normalriktningen men nu hänger jag inte med på resonemanget.

Elle är det så att jag bara räknar ut farten utan riktning och sätter den i normalriktningen med normalkomponenten e?

Hastigheten $\overrightarrow{v}$ är alltid riktad i tangentriktningen - ingen komponent i normalriktningen.

I naturliga koordinater så gäller det rent allmänt att

$\overrightarrow{v}=\dot{s}{\overrightarrow{e}}_t$.

Om du integrerar $\ddot{s}$ så får du $\dot{s}$, vilket är hastighetens komponent i tangentriktningen. Hastighetens komponent i normalriktningen är alltid noll.

Tänk dig att du åker längs en väg.

En del av accelerationen beror på att du trycker på gaspedalen så att bilens fart ökar; det ger upphov till termen $\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_t$. Hastighetens belopp ändras.

En annan del av accelerationen beror på att vägen svänger; det ger upphov till termen $\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n$. Hastighetens riktning ändras.

Jaha, så jag ska tänka på s˙ som en komponent till accelerationen som är integrerad en gång? Jag tror att jag blandat ihop hastighetsvektorn med den integrerade accelerationen i normalriktning, och tänkt att $\stackrel{.}{s}$är hastigheten. Om jag nu har förstått det rätt stämmer inte det, utan $\stackrel{.}{s}$är en komponent för att beskriva hastigheten eller accelerationen.

$|\dot{s}|$ är farten

$\dot{s}\mathbf{e}_t$ är hastigheten

Man måste använda $\dot{s}$ när man bestämmer accelerationen i normalriktningen. Jämför med accelerationen i radiell led i polära koordinater som som ni använde i gymnasiet när ni studerade cirkelrörelse:

$ma_r=\frac{mv^2}{R}$

Visst känner du igen det uttrycket?

Tyvärr känner jag inte igen det uttrycket, men jag var inte heller helt med på fysiklektionerna på gymnasiet. Är R någon radie i den formeln?

Ja, R är radien. Du rör dig på en cirkel med konstant fart v. Accelerationen är då riktad in mot cirkelns centrum - centripetalacceleration. Detta kommer du säkert i håg från gymnasiet.

Ekvation (4) i problemet kan sägas vara en generalisering av detta, då krökningsradien och farten tillåts variera.