Nokflex Matematik 5 - uppgift 2407: Induktionsbevis.

Du har alltså testat att det fungerar för ett tal p och ska visa att det gäller för n = p+1

så vi ska visa att VL = HL i nedanstående uttryck

$\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{2(p+1)-1\left)\right(2(p+1)+1)}= \frac{p+1}{2(p+1)+1}$

HL utvecklar jag till $\frac{p+1}{2p+3}$

VL gör vi liknämnigt och får efter förenkling

$\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)}$

Vi ser att HL och VL har en gemensam faktor i sina nämnare som vi kan förkorta bort (den är alltid > 0)

Återstår att visa

$\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)}$=$p+1$

Gör liknämnigt och saken är klar

Ture skrev:

Du har alltså testat att det fungerar för ett tal p och ska visa att det gäller för n = p+1

så vi ska visa att VL = HL i nedanstående uttryck

$\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{2(p+1)-1\left)\right(2(p+1)+1)}= \frac{p+1}{2(p+1)+1}$

HL utvecklar jag till $\frac{p+1}{2p+3}$

VL gör vi liknämnigt och får efter förenkling

$\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)}$

Vi ser att HL och VL har en gemensam faktor som vi kan förkorta bort (den är alltid > 0)

Återstår att visa

$\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)}$=$p+1$

Gör liknämnigt och saken är klar

Jag ser nu att täljaren i min VL, sista raden är felaktig. Jag har skrivit 6p men ska ha istället skrivit 3p.

Tack för din förklaring, jag fortsätter och ser om jag lyckas knäcka denna! 

Ture skrev:

Du har alltså testat att det fungerar för ett tal p och ska visa att det gäller för n = p+1

så vi ska visa att VL = HL i nedanstående uttryck

$\frac{p}{2p+1}+\frac{1}{2(p+1)-1\left)\right(2(p+1)+1)}= \frac{p+1}{2(p+1)+1}$

HL utvecklar jag till $\frac{p+1}{2p+3}$

VL gör vi liknämnigt och får efter förenkling

$\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)}$

Vi ser att HL och VL har en gemensam faktor i sina nämnare som vi kan förkorta bort (den är alltid > 0)

Återstår att visa

$\frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)}$=$p+1$

Gör liknämnigt och saken är klar

Ursäkta för sen återkoppling - men nu är det klart, tack för informationen! Så irriterande när man på ett ungefär vet att man gjort rätt, men ändå fastnar!

Följdfråga: Det är ofta jag märker att jag gör "onödiga" förlängningar, exempelvis:

Hela denna del är onödig, jag borde bara ha behållt VL med nämnaren (2p +1)(2p+3) istället för att förlänga, multiplicera, för att sedan slutligen bryta ut igen. Är det liksom lite av en oskriven regel att man vid bevisföring inte ska utföra multiplikationen vid förlängningar och/eller när man tillämpar kvadreringsregeln eller konjugatregeln? Får man bättre överblick då på något sätt? 

Stökig fråga, jag hoppas du förstår!

Ghassemi skrev:

Är det liksom lite av en oskriven regel att man vid bevisföring inte ska utföra multiplikationen vid förlängningar och/eller när man tillämpar kvadreringsregeln eller konjugatregeln? Får man bättre överblick då på något sätt? 

Det är inte en oskriven regel men en vanlig metod som ofta kan förenkla räkningarna. Och det kan ge, precis som du säger, en bättre överblick. I induktionsbevis vill man alltid använda induktionsantagandet på något sätt, såklart. Det är därför alltid fördelaktigt att skriva IA och det man tänkt visa på så lika form som möjligt. Om det innebär att ändra IA eller likheten beror på situationen. 

Ghassemi skrev:

 

Följdfråga: Det är ofta jag märker att jag gör "onödiga" förlängningar, exempelvis:

Hela denna del är onödig, jag borde bara ha behållt VL med nämnaren (2p +1)(2p+3) istället för att förlänga, multiplicera, för att sedan slutligen bryta ut igen. Är det liksom lite av en oskriven regel att man vid bevisföring inte ska utföra multiplikationen vid förlängningar och/eller när man tillämpar kvadreringsregeln eller konjugatregeln? Får man bättre överblick då på något sätt? 

 

Stökig fråga, jag hoppas du förstår!

Vid förenklingar är det ofta klokt att faktorisera täljare och nämnare, istället för att multiplicera ihop de faktorer man har. Om man har faktoriserat täljare och nämnare kan man  förkorta bort gemensamma faktorer.

Exvis hade vi kunnat faktorisera täljaren när vi gjort liknämnigt och sen förkortat, så här:

$$\begin{gathered} \frac{2p^2+3p+1}{(2p+1)(2p+3)} = \\ \frac{(2p+1)(p+1)}{(2p+1)(2p+3}= \\ \frac{p+1}{2p+3} \end{gathered}$$

Jag vågar inte ger ett generellt svar på frågan om det ena är bättre än det andra, men jag brukar börja med att faktorisera, om det inte hjälper får man prova ngt annat.