Nollproduktsmetoden

Hej.

Om du har en produkt av två faktorer A och B som är lika med 0, dvs , dvs om ekvationen A*B = 0 gäller, så måste det gälla att minst en av faktorerna A och B är lika med 0.

Varför är det så, kan man undra?

Jo, för att om vi säger att båda faktorerna är skilda från 0 så skulle vi, om vi dividerar ekvationen med B få fram A = 0/B, dvs A = 0, vilket är en motsägelse.

På samma sätt, om vi istället dividerar ekvationen med A så får vi B = 0/A, dvs B = 0, även det en motsägelse.

Alltså kan inte båda faktorerna vara skolda från 0, alltså måste minst en av faktorerna vara lika med 0.

Blev det tydligare då?

Godmorgon!

Ja, men jag tänkte varför det ger en lösning på ekvationen.

Se Faktorsatsen och Algebrans fundamentalsats

Dkcre skrev:

Ja, men jag tänkte varför det ger en lösning på ekvationen.

Vilken ekvation? A*B=0 eller någon specifik?

Kan ju tilläggas att det här med att minst en är noll betyder att följande lösningar är möjliga:

Både A och B är noll.
A är noll och B är vad som helst.
B är noll och A är vad som helst.

Jag tänkte på vilken andragradsekvation som helst egentligen. Fast just en andragradare då.

Dkcre skrev:

Jag tänkte på vilken andragradsekvation som helst egentligen. Fast just en andragradare då.

Ett generellt andragradspolynom kan skrivas $p(x)=ax^2+bx+c$, där $a\neq0$. Detta polynom kan faktoriseras till $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, där $x_1$ och $x_2$ är polynomets nollställen.

Andragradsekvationen $p(x)=0$ kan alltså skrivas $a(x-x_1)(x-x_2)=0$.

I den ekvationen är vänsterledet en produkt av de tre faktorerna $a$, $(x-x_1)$ och $(x-x_2)$.

Nollproduktmetoden ger nu att åtminstone en av dessa tre faktorer är lika med 0.

Det ger de tre möjligheterna

• $a=0$, vilket inte stämmer enligt ovan.
• $x-x_1=0$, vilket betyder att $x=x_1$
• $x-x_2=0$, vilket betyder att $x=x_2$

Nollproduktmetoden ger alltså de två nollställena $x_1$ och $x_2$, vilket stämmer med faktoriseringen.

====== Konkret exempel =====

Eftersom $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ så kan ekvationen $x^2+x-2=0$ skrias som $(x+2)(x-1)=0$.

Vänsterledet är en produkt av de två faktorerna $(x+2)$ och $(x-1)$.

Nollproduktmetoden ger oss nu direkt de båda möjliga lösningarna

• $x+2=0$, dvs $x=-2$
• $x-1=0$, dvs $x=1$

Jämför gärna med att lösa med hjälp av pq-formeln.

=============

Blev kopplingen tydligare nu?

Om det är någon speciell andragradare du funderar på så visa gärna den.

Hej Yngve,

Det hjälper, jag är med. Tack för ditt inlägg.

Nu ska jag fortsätta med trigonometriska ekvationer.